Свойства эквивалентных функций

Сравнение бесконечно больших функций

Сравнение бесконечно малых функций

Пределы гиперболических функций

Основные тождества

Свойства гиперболического котангенса

Свойства гиперболического тангенса

Свойства гиперболического косинуса

Свойства гиперболического синуса

Гиперболические функции и их графики

Название Определение Графики
Гиперболический синус  
Гиперболический косинус  
Гиперболический тангенс  
Гиперболический котангенс    

 

 

 

 

№ Название Формула
1. Основное тождество  
2. Четность, нечетность    
 
3. Формулы сложения    
   
4. Формулы двойного угла  
 
   
 
5. Формулы суммы    
   
 
6. Формулы понижения степени    

 

 

Пусть , – бесконечно малые функции при , причем – конечная или бесконечная точка, в которой функции могут быть не определены.

 

№ Название Обозначение (при ) Признак
1. и – бесконечно малые одинакового порядка малости      
2. – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем    
3. – бесконечно малая более низкого порядка малости, чем    
4. и – эквивалентные бесконечно малые    
5. – бесконечно малая -го порядка малости относительно бесконечно малой      
6. и – несравнимые бесконечно малые функции    

 

С учетом введенных определений можно заметить, что:

1) – бесконечно малая функция при тогда и только тогда, когда ;

2) – ограниченная функция при тогда и только тогда, когда .

 

Для определения порядка kодной бесконечно малой функции относительно другой можно рекомендовать такой порядок действий:

1) написать под знаком предела отношение и упростить его;

2) предположить возможное значение , при котором будет существовать конечный предел, не равный нулю;

3) проверить предположение, вычислив предел.

 

 

№ п/п Название Обозначение (при ) Признак
1. и – бесконечно большие одинакового порядка роста      
2. – бесконечно большая более высокого порядка роста, чем    
3. – бесконечно большая более низкого порядка роста, чем    
4. и – эквивалентные бесконечно большие    
5. – бесконечно большая -го порядка роста относительно бесконечно большой      
6. и – несравнимые бесконечно большие функции    

 

 

 

1. Предел отношения бесконечно малых функций при равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций при .

2. Предел отношения бесконечно больших функций при равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно больших функций при .

3. Две бесконечно малые при функции и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем каждая из этих функций, т.е. и при .

4. Сумма конечного числа бесконечно малых функций эквивалентна тому слагаемому, которое имеет самый низкий порядок.

5. (О замене переменных) Если и – бесконечно малые функции при , а в некоторой проколотой окрестности точки функция отлична от нуля и при стремится к , то сложные функции и эквивалентны при