Интервальная оценка результатов измерения при Гауссовом законе распределения.
Интервальная оценка- это такая оценка, которой можно оценить истинное значение:
, гдеи – это границы интервала.
В результате измерений , мы можем строить только вероятностные характеристики. То есть найти оценку границ: .
Ставится вопрос: какова вероятность того, что истинное значение попадет в интервал ?
Вероятность такого события называется доверительной вероятностью, а оценка – доверительным интервалом.
В результате измерений выборки мы знаем , поэтому границы доверительного интервала строятся на основе экспериментально полученной оценки истинного значения.
При определенной доверительной вероятности, доверительный интервал будет узким, а при какой-то иной – широким. Поэтому в качестве оценки нижней границы принимается величина , а в качестве верхней - , где - полуширина доверительного интервала.
Рассмотрим 2 случая:
1) - известно
Оценка:
Плотность вероятности:
Найдем вероятность:
a) Величина - детерминированная не интегрируем
b) Приведем к виду, чтобы можно было проинтегрировать:
Тогда ,
произведя замену , получим .
Где - функция Лапласа. Она нечетная, табулированная.
Таким образом, доверительная вероятность есть удвоенное значение функции Лапласа.
Находим и вычисляем искомую величину : .
Запись результата:
Запишем .
Общая постановка:
Требуется при определенной доверительной вероятности и оценить нужный объем выборки, чтобы обеспечить доверительную вероятность.
2) - неизвестно
В качестве оценки результата измерения берется среднее значение
, тогда - несмещенная оценка СКО.
То есть, если каждый результат измерений распределен по нормальному закону распределения, то - тоже по нормальному.
Поступаю следующим образом: вводят величину , она распределена по закону Стьюдента. Плотность вероятности такого закона:
, где - число наблюдений.
Если , то закон Стьюдента аппроксимируют на практике нормальным законом.
,
Где - вероятностный коэффициент Стьюдента.
Далее находим по таблице , и получаем искомую величину - .
Результат измерения записывается аналогично первому случаю: