Критерий Лапласа

Принятие решений в условиях неопределенности.

Рассмотрим 4 критерия принятия решений в условиях неопределенности, когда никакие вероятностные характеристики не известны.

1. критерий Лапласа,
2. минимаксный критерий,
3. критерий Сэвиджа,
4. критерий Гурвица.

Основное различие между этими критериями определяется стратегией лица, принимающего решения. Критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем минимаксный критерий. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного. Все эти критерии отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решение. При этом не существует общих правил применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение в условиях неопределенности, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия.

Перечисленные критерии базируются на том, что лицу, принимающему решение, не противостоит разумный противник. В случае, когда в роли противника выступает природа, нет оснований предполагать, что она стремится причинить вред лицу, принимающему решение.

При наличии разумного противника, интересы которого противоречат интересам лица, принимающего решения (например, в военных действиях противоборствующие армии являются разумными противниками), для построения подходящего критерия требуется специальный подход. Эти вопросы рассматриваются в теории игр.

Данные, необходимые для принятия решений в условиях неопределенности, задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют действиям, а столбцы - возможным состояниям системы.

Каждому действию и каждому возможному состоянию системы соответствует результат (исход), определяющий выигрыш (или потери) при выборе данного действия и реализации данного состояния.

Пусть a_i (i=1,2, ... , m)

и q _j представляет возможное состояние j ( j=1,2, ... ,n),

n ( a_i , q _j ) - описывает соответствующий результат.

В общем случае n ( a_i , q _j ) может быть непрерывной функцией a_i и q _j .

В дискретном случае указанные данные представляются в форме матрицы.

Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний q ₁, q ₂, ... ,q _n не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточного обоснования утверждает противоположное, то состояния q ₁, q ₂, ...,q _n имеют равные вероятности. Если согласиться с приведенными доводами, то исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решений в условиях риска, когда выбирается действие a_i , дающее ожидаемый выигрыш.

Другими словами, находится действие a_i^* , соответствующее

-вероятность реализации состояния q _j ( j=1,2, ... ,n),

Пример. Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса.

Приведем таблицу, определяющую потери в тысячах долларов.

Клиенты

Принцип Лапласа предполагает, что q ₁, q ₂, q ₃, q ₄ равновероятны.

Следовательно, P{q =q _j } =1/4, j= 1, 2, 3, 4, и ожидаемые потери при различных действиях a₁, a₂, a₃, a₄ составляют

E{a₁}= (1/4)(5+10+18+25)=14,5

E{a₂}= (1/4)(8+7+8+23)=11,5

E{a₃}= (1/4)(21+18+12+21)=18,0

E{a₄}= (1/4)(30+22+19+15)=21,5

Таким образом, наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет a₂.