Число е.

Рассмотрим последовательность

Покажем, что она строго возрастает и ограничена сверху, а следовательно, согласно теореме 3 имеет конечный предел.

Применив формулу бинома Ньютона, получим *

Из выражения, стоящего в правой части равенства, видно, что при переходе от n к n+1 число слагаемых (которые все положительны) в написанной сумме возрастает на единицу и каждое слагаемое, начиная с третьего, увеличивается, так как становится больше выражение, стоящее в каждой круглой скобке, ибо

Это означает строгое возрастание последовательности.

Далее, поскольку

И поэтому

то при n>1 из равенства (*) получим

(мы заменили сумму конечной геометрической прогрессии суммой бесконечной геометрической прогрессии, так как у последней проще формула). Итак, т.е. последовательность ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел. Он обозначается через е: . Млжно показать, что е – иррациональное число и е=2,718281828459045…