Монотонные последовательности.
Определение 4 Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности {xn} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается (соответственно
).
Определение 5 Числовая последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей) , если для всех выполняется неравенство
(соответственно неравенство
).
Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, строго убывающие и строго возрастающие – строго монотонными.
Теорема 2 (Вейерштрасс) Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел
и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность {xn} ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу.
Д-во. Пусть последовательность {xn} возрастает. Докажем равенство . Остальные утверждения теоремы для возрастающих последовательностей следуют из него очевидным образом.
Пусть , значение b может быть как конечным, так и бесконечным. Возьмем произвольную окрестность
точки b и обозначим через
ее левый конец. Очевидно
. Согласно определению верхней грани
1) для любого номера имеет место неравенство
;
2) существует такой номер n0, что .
В силу возрастания последовательности {xn} из предыдущего следует, что для всех номеров n>n0 выполняется неравенство и поскольку
то при n>n0 имеет место включение
, а это и означает, что b является пределом последовательности {xn}. Аналогично рассматривается случай убывающих последовательностей. ■
Замечание. Если - система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, а x- точка, принадлежащая всем отрезкам этой системы, то
.
В самом деле, последовательность {an} возрастает, а {bn} убывает, кроме того можно показать, что . Поэтому истинность утверждения сразу следует из теоремы Вейерштрасса.