Монотонные последовательности.

Определение 4 Верхняя (нижняя) грань множества значений числовой последовательности {x_n} называется верхней (нижней) гранью этой последовательности и обозначается (соответственно ).

Определение 5 Числовая последовательность {x_n} называется возрастающей (убывающей) , если для всех выполняется неравенство (соответственно неравенство).

Убывающие и возрастающие последовательности называются монотонными, строго убывающие и строго возрастающие – строго монотонными.

Теорема 2 (Вейерштрасс) Всякая возрастающая числовая последовательность {x_n} имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограничена сверху, причем Аналогично, если {x_n} – убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность {x_n} ограничена снизу, и бесконечен, если она неограничена снизу.

Д-во. Пусть последовательность {x_n} возрастает. Докажем равенство . Остальные утверждения теоремы для возрастающих последовательностей следуют из него очевидным образом.

Пусть , значение b может быть как конечным, так и бесконечным. Возьмем произвольную окрестность точки b и обозначим через ее левый конец. Очевидно . Согласно определению верхней грани

1) для любого номера имеет место неравенство ;

2) существует такой номер n₀, что .

В силу возрастания последовательности {x_n} из предыдущего следует, что для всех номеров n>n₀ выполняется неравенство и поскольку то при n>n₀ имеет место включение , а это и означает, что b является пределом последовательности {x_n}. Аналогично рассматривается случай убывающих последовательностей. ■

Замечание. Если - система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, а x- точка, принадлежащая всем отрезкам этой системы, то.

В самом деле, последовательность {a_n} возрастает, а {b_n} убывает, кроме того можно показать, что . Поэтому истинность утверждения сразу следует из теоремы Вейерштрасса.