Метод оберненої матриці. Матричні рівняння
ЛЕКЦІЯ 4: ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЧНОГО АНАЛІЗУ
Розглянемо квадратну не вироджену СЛР у матричному вигляді
. (3.1)
Оскільки , то існує, причому єдина, обернена до матриці А матриця
. Помножимо обидві частини рівності (4) зліва на матрицю
. Маємо
. Тобто розв’язок СЛР (3.1) обчислюється за формулою
(3.2)
Єдиність отриманого розв’язку випливає з єдиності оберненої матриці.
Приклад 1.Розв’язати методом оберненої матриці наступну СЛР:
Матриця даної системи має вигляд , стовпчик вільних членів
. Матрицю, обернену до матриці А, було знайдено у прикладі 8 розділу 2:
. Отже, єдиний розв’язок даної СЛР має вигляд:
Узагальнюючи наведений метод, розглянемо найпростіші матричні рівняння, тобто рівняння, що містять матрицю невідомих Х. Виділимо три типи таких рівнянь.
1. . За умови, що
, маємо
.
Зауважимо, що СЛР (4) є частинним випадком цього матричного рівняння, коли m=1.
2. . За умови, що
, маємо
.
3. . За умови, що
та
, маємо
.
Приклад 2. Розв’язати матричне рівняння , де
,
,
.
Обернені до матриць А і В можна знайти за правилом, сформульованим у прикладі 7 розділу ІІ.
,
.
Отже, шукана матриця