Метод оберненої матриці. Матричні рівняння

ЛЕКЦІЯ 4: ЕЛЕМЕНТИ МАТРИЧНОГО АНАЛІЗУ

Розглянемо квадратну не вироджену СЛР у матричному вигляді

. (3.1)

Оскільки , то існує, причому єдина, обернена до матриці А матриця . Помножимо обидві частини рівності (4) зліва на матрицю . Маємо . Тобто розв’язок СЛР (3.1) обчислюється за формулою

(3.2)

Єдиність отриманого розв’язку випливає з єдиності оберненої матриці.

Приклад 1.Розв’язати методом оберненої матриці наступну СЛР:

Матриця даної системи має вигляд , стовпчик вільних членів . Матрицю, обернену до матриці А, було знайдено у прикладі 8 розділу 2: . Отже, єдиний розв’язок даної СЛР має вигляд:

Узагальнюючи наведений метод, розглянемо найпростіші матричні рівняння, тобто рівняння, що містять матрицю невідомих Х. Виділимо три типи таких рівнянь.

1. . За умови, що , маємо

.

Зауважимо, що СЛР (4) є частинним випадком цього матричного рівняння, коли m=1.

2. . За умови, що , маємо

.

3. . За умови, що та , маємо

.

Приклад 2. Розв’язати матричне рівняння , де , , .

Обернені до матриць А і В можна знайти за правилом, сформульованим у прикладі 7 розділу ІІ.

, .

Отже, шукана матриця