Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Рассмотренные только что знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов. Здесь будем полагать, что могут быть как положительными, так и отрицательными.
Следующая теорема дает важный достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.
Теорема 1. Если знакопеременный ряд
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Пусть и суммы первых членов рядов и Пусть далее и положительные возрастающие величины, меньшие Следовательно, они имеют пределы следует, что и имеет предел и этот предел равен в два раза меньше суммы ряда т.е. равна Обозначим через и
Следовательно,
то он расходится при всяком для которого ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке удовлетворяющей условию т.к. ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке Таким образом, теорема полностью доказана.
Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если и вся полупрямая влево от точки
где остаточный член.
Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки то в формуле Тейлора число можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член при Тогда, переходя в формуле к пределу при получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
Отметим, что для каждой из элементарных функций существует такое и такое что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или в ряд Маклорена.
Пример 1.
Так как остаточный член стремится к нулю при любом то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию при любом
Пример 2.
При всех значениях ряд сходится и представляет функцию
Пример 3.
Так как для любого то для всех значений ряд сходится и представляет функцию
Пример 4.
Ряд сходится и представляет функцию для
Пример 5.
Ряд сходится и представляет функцию для