Лекція 6.Контекстно-свободные грамматики и автоматы с магазинной памятью

Пусть G = (N, T, P, S) - КС-грамматика. Введем несколько важных понятий и определений.

Вывод, в котором в любой сентенциальной форме на каждом шаге делается подстановка самого левого нетерминала, называется левосторонним. Если S=>^* u в процессе левостороннего вывода, то u - левая сентенциальная форма. Аналогично определим правосторонний вывод. Обозначим шаги левого (правого) вывода =>_l (=>_r).

Упорядоченным графом называется пара (V,E), где V есть множество вершин, а E - множество линейно упорядоченных списков дуг, каждый элемент которого имеет вид ((v, v₁), (v, v₂), ... , (v, v_n)). Этот элемент указывает, что из вершины v выходят n дуг, причем первой из них считается дуга, входящая в вершину v₁, второй - дуга, входящая в вершину v₂, и т.д.

Упорядоченным помеченным деревом называется упорядоченный граф (V,E), основой которого является дерево и для которого определена функция f : V -> F (функция разметки) для некоторого множества F.

Упорядоченное помеченное дерево D называется деревом вывода (или деревом разбора ) цепочки w в КС-грамматике G = (N, T, P, S), если выполнены следующие условия:

(1) корень дерева D помечен S ;

(2) каждый лист помечен либо , либо e ;

(3) каждая внутренняя вершина помечена нетерминалом ;

(4) если X - нетерминал, которым помечена внутренняя вершина и X₁, ... , X_n - метки ее прямых потомков в указанном порядке, то X -> X₁ ... X_k - правило из множества P ;

(5) Цепочка, составленная из выписанных слева направо меток листьев, равна w.

Процесс определения принадлежности данной строки языку, порождаемому данной грамматикой, и, в случае указанной принадлежности, построение дерева разбора для этой строки, называется синтаксическим анализом. Можно говорить о восстановлении дерева вывода (в частности, правостороннего или левостороннего) для строки, принадлежащей языку. По восстановленному выводу можно строить дерево разбора.

Грамматика G называется неоднозначной, если существует цепочка w, для которой имеется два или более различных деревьев вывода в G.

Грамматика G называется леворекурсивной, если в ней имеется нетерминал A такой, что для некоторой цепочки R существует вывод .

Автомат с магазинной памятью (МП-автомат) - это семерка , где

(1) Q - конечное множество состояний, представляющих всевозможные состояния управляющего устройства;

(2) T - конечный входной алфавит;

(3) - конечный алфавит магазинных символов ;

(4) D - отображение множества в множество конечных подмножеств , называемое функцией переходов ;

(5) - начальное состояние управляющего устройства;

(6) - символ, находящийся в магазине в начальный момент ( начальный символ магазина );

(7) - множество заключительных состояний.

Конфигурация МП-автомата - это тройка (q, w, u), где

(1) - текущее состояние управляющего устройства;

(2) - непрочитанная часть входной цепочки; первый символ цепочки w находится под входной головкой; если w = e, то считается, что вся входная лента прочитана;

(3) - содержимое магазина; самый левый символ цепочки u считается верхним символом магазина; если u = e, то магазин считается пустым.

Такт работы МП-автомата M будем представлять в виде бинарного отношения , определенного на конфигурациях.

Будем писать

если множество D(q, a, Z) содержит (p, v), где и (верхушка магазина слева).

Начальной конфигурацией МП-автомата M называется конфигурация вида (q₀, w, Z₀), где , то есть управляющее устройство находится в начальном состоянии, входная лента содержит цепочку, которую нужно проанализировать, а в магазине имеется только начальный символ Z₀.

>Заключительной конфигурацией называется конфигурация вида (q, e, u), где , то есть управляющее устройство находится в одном из заключительных состояний, а входная цепочка целиком прочитана.

Введем транзитивное и рефлексивно-транзитивное замыкание отношения , а также его степень k > 0 (обозначаемые , и соответственно).

Говорят, что цепочка w допускается МП-автоматом M, если для некоторых и .

Множество всех цепочек, допускаемых автоматом M называется языком, допускаемым (распознаваемым, определяемым) автоматом M (обозначается L(M) ).

Пример 4.1. Рассмотрим МП-автомат

M = ({q₀, q₁, q₂}, {a, b}, {Z, a, b}, D, q₀, Z, {q₂}),

у которого функция переходов D содержит элементы:

Нетрудно показать, что , где w^R обозначает обращение ("переворачивание") цепочки w.

Иногда допустимость определяют несколько иначе: цепочка w допускается МП-автоматом M, если для некоторого . В таком случае говорят, что автомат допускает цепочку опустошением магазина. Эти определения эквивалентны, ибо справедлива

Теорема 4.1. Язык допускается МП-автоматом тогда и только тогда, когда он допускается (некоторым другим автоматом) опустошением магазина.

Доказательство. Пусть L = L(M) для некоторого МП- автомата . Построим новый МП- автомат M', допускающий тот же язык опустошением магазина.

Пусть где функция переходов D' определена следующим образом:

1. Если , то для всех и (моделирование М ),
2. (начало работы),
3. Для всех и множество D'(q, e, Z) содержит (q_e, e) (переход в состояние сокращения магазина без продвижения),
4. D'(q_e, e, Z) = {(q_e, e)} для всех , (сокращение магазина).

Автомат сначала переходит в конфигурацию соответственно определению D' в п.2, затем в ,

соответственно п.1, затем в соответственно п.3, затем в (q_e, e, e) соответственно п.4. Нетрудно показать по индукции, что (где ) выполняется для автомата M тогда и только тогда, когда выполняется для автомата M'. Поэтому L(M) = L', где L' - язык, допускаемый автоматом M' опустошением магазина.

Обратно, пусть - МП - автомат, допускающий опустошением магазина язык L. Построим автомат M', допускающий тот же язык по заключительному состоянию.

Пусть , где D' определяется следующим образом:

1. - переход в "режим M ",
2. Для каждого определим - работа в "режиме M " ,
3. Для всех - переход в заключительное состояние.

Нетрудно показать по индукции, что L = L(M'). Одним из важнейших результатов теории контекстно-свободных языков является доказательство эквивалентности МП-автоматов и КС-грамматик.

Теорема 4.2. Язык является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда он допускается МП-авто- матом.

Доказательство.(алгоритм побудови мп-автомату по КВ граматиці). Пусть G = (N, T, P, S) - КС-граммати- ка. Построим МП-автомат, допускающий язык L(G) опустошением магазина.

Пусть , где D определяется следующим образом:

1. Если , то ,
2. D(q, a, a) = {(q, e)} для всех .

Фактически, этот МП-автомат в точности моделирует все возможные выводы в грамматике G. Нетрудно показать по индукции, что для любой цепочки вывод S =>⁺w в грамматике G существует тогда и только тогда, когда существует последовательность тактов автомата M.

Алгоритм побудови Кв граматики по мп-автомату)

Наоборот, пусть дан - МП- автомат, допускающий опустошением магазина язык L.

Построим грамматику G, порождающую язык L.

Пусть , где P состоит из правил следующего вида:

1. для всех .
2. Если ,
3. Если , то

Нетерминалы и правила вывода грамматики определены так, что работе автомата M при обработке цепочки w соответствует левосторонний вывод w в грамматике G.

Индукцией по числу шагов вывода в G или числу тактов M нетрудно показать, что тогда и только тогда, когда [qAp] =>⁺ w.

Тогда, если , то S => [q₀Z₀q] =>⁺ w для некоторого . Следовательно, и поэтому . Аналогично, если , то . Значит, S =>[q₀Z₀q] =>⁺ w, и поэтому .