Уравнения безмоментной теории оболочек вращения

Согласно основному допущению безмоментной теории, изгибающие и скручивающие моменты, а также поперечные силы считаются равными нулю. Из этого допущения следует, что нормальные напряжения и и касательные напряжения и постоянны по толщине оболочки, а напряжения и – отсутствуют.

Выделим бесконечно малый элемент стенки оболочки, ограниченный двумя близкими меридиональными сечениями и двумя коническими сечениями, перпендикулярными срединной поверхности (рис.7.6), и рассмотрим его равновесие.

Кроме напряжений на выделенный элемент действует поверхностная распределенная нагрузка, которую можно представить в виде трех составляющих:

– по нормали к поверхности;

– по касательной к меридиану;

– по касательной к параллели.

Введем обозначения:

– нормальная сила в окружном направлении;

– нормальная сила в меридиональном направлении;

– сдвигающая сила.

Внутренние силы принято относить к единице длины дуги: размерность этих сил – Н/м.

При несимметричном нагружении оболочки все величины зависят от двух переменных – от дуги и полярного угла , поэтому уравнения получаются в частных производных.

Составим уравнения проекций сил, действующих на элемент оболочки (рис. 7.6), на нормаль к поверхности , на ось вращения и на касательную к окружности :

Уравнения моментов в данном случае удовлетворяются тождественно. Отбросив величины более высокого порядка малости и выполнив элементарные преобразования с учетом зависимостей

придем к следующей системе трех уравнений с тремя неизвестными:

Рис. 7.6

где – осевая составляющая поверхностной нагрузки:

Уравнение (5) известно под названием уравнения Лапласа.

Уравнения (5)–(7) могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных с одним неизвестным. Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям на краях. Если граничные условия – силовые, т.е. на краях заданы усилия и , то решение системы уравнений (5) – (7) может быть доведено до конца. Если же граничные условия – геометрические, т.е. на краях заданы перемещения, то необходимо дополнительно использовать уравнения перемещений.

Перейдем к выводу уравнений перемещений. Введем обозначения:

– составляющая перемещения произвольной точки срединной поверхности по направлению касательной к меридиану;

– составляющая перемещения по направлению касательной к параллели;

– составляющая перемещения по нормали к поверхности.

Направления перемещений, показанные на рис.7.7, приняты за положительные. Перемещения точек и отличаются от перемещений точки на бесконечно малые приращения. Вычислим относительные линейные деформации в меридиональном и окружном направлениях и и угловую деформацию в касательной плоскости .

За счет приращения перемещения по координате отрезок меридиана получает удлинение, равное . За счет перехода точек и на больший радиус тот же отрезок получает удлинение, равное . Сложив эти удлинения и разделив на первоначальную длину отрезка , получим относительное удлинение в меридиональном направлении

Аналогично определим окружную деформацию. Отрезок , равный , получает следующие удлинения:

за счет приращения перемещения по координате ;

за счет смещения точек и вдоль меридианов;

за счет смещения точек и по нормали и перехода их на больший радиус.

Рис. 7.7

Разделив сумму этих удлинений на первоначальную длину отрезка , найдем относительную окружную деформацию

Угловая деформация равна сумме углов поворота отрезков и в касательной плоскости. Угол поворота отрезка (обозначим его через ) зависит только от приращения перемещения по координате :

Угол поворота второго отрезка связан с приращением перемещения по координате :

Этот, угол, однако, зависит не только от деформации срединной поверхности, но и от поворота оболочки как жесткого целого вокруг ее оси. Действительно, при повороте оболочки на некоторый угол точка получит перемещение по окружности, равное , а соседняя с ней точка – перемещение . Разность окружных перемещений точек и , разделенная на длину отрезка , дает ту часть угла поворота отрезка , которая не зависит от деформации срединной поверхности:

Вычитая из найдем угол поворота отрезка меридиана , связанный с деформацией сдвига срединной поверхности:

Сумма углов и дает угловую деформацию

Уравнения (9)–(11) устанавливают зависимость между деформациями , , и компонентами перемещений .

Выразим деформации через усилия. Согласно обобщенному закону Гука:

С учетом этих равенств уравнения (9) – (7.11) принимают вид

Если усилия , и уже найдены, то в полученной системе трех уравнений (12) – (14) содержатся только три неизвестных . Преобразуя эту систему к одному уравнению с одним неизвестным, получим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, решение которого также должно удовлетворять граничным условиям на краях оболочки.