Условия существования безмоментного напряженного состояния оболочки
Теория оболочек может быть построена как обобщение теории изгиба пластинок. В основе расчета оболочек лежат гипотезы Кирхгофа-Лява. Ляв произвел обобщение гипотез Кирхгофа на случай расчета оболочек:
1. Любое прямое волокно, нормальное к срединной поверхности до деформации, остаётся прямым и нормальным к срединной поверхности и после деформации; вместе с тем его длина остаётся неизменной;
2. Нормальными напряжениями в направлении, перпендикулярном к срединной поверхности, можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями. При этом общая трёхмерная задача теории упругости переходит в двумерную.
При нагружении оболочки возможны различные виды напряженного состояния. В оболочке может возникать только растяжение или сжатие без изгиба стенки (безмоментное состояние); растяжение совместно с изгибом (смешанное состояние) или только изгиб без растяжения (моментное состояние).
Примером безмоментного состояния может служить напряженное состояние, возникающее в сферической оболочке под действием равномерного внутреннего давления.
В качестве примера смешанного напряженного состояния можно указать состояние, возникающее в оболочке при нагружении ее распределенным моментом (рис.7.3). Под действием момента стенка оболочки изгибается, и точки, расположенные около края, получают радиальные смещения, в связи с чем срединная поверхность оболочки растягивается в окружном направлении. При деформации подобного вида стенка оболочки одновременно испытывает изгиб и растяжение.
Рис. 7.3 Рис. 7.4
Моментное напряженное состояние может возникнуть в некоторых случаях при несимметричном нагружении оболочки. На рис. 7.4 изображен тонкостенный цилиндр со свободными торцами. При нагружении такого цилиндра силами, перпендикулярными его оси, он будет деформироваться почти без растяжения срединной поверхности так, как показано на рисунке. Нагрузка в этом случае воспринимается исключительно за счет сопротивления изгибу. Если же изгибная жесткость будет весьма мала, то цилиндр превратится в механизм. Это следует понимать в том смысле, что его можно будет деформировать почти без затраты энергии. Так как перемещения на каждом из двух торцов могут быть заданы независимо, то такой цилиндр может быть уподоблен механизму с двумя степенями свободы. Если на один из торцов наложить связи, запрещающие искажение формы окружности, то цилиндр превратится в механизм с одной степенью свободы. При запрещении искажения формы окружности обоих торцов деформация цилиндра без растяжения срединной поверхности будет невозможна.
То же самое можно сказать и об оболочке вращения с образующей произвольной формы. Коническая или сферическая оболочки, открытые с обеих сторон (см. рис. 7.2, а и б) при весьма малой изгибной жесткости подобны механизму с двумя степенями свободы. Тот же конус или сфера, замкнутые в вершине, эквивалентны механизму с одной степенью свободы.
Преимущества оболочки как конструктивного элемента реализуются в том случае, когда ее стенка работает на растяжение (сжатие) в условиях безмоментного напряженного состояния или состояния, близкого к безмоментному.
Моментное состояние целесообразно только в том случае, когда оболочка используется в качестве гибкого элемента, получающего в процессе работы значительные упругие деформации (например, гибкое звено волновой зубчатой передачи).
В общем случае напряженного состояния в стенке оболочки возникают нормальные напряжения растяжения и изгиба, распределенные по толщине так, как показано на рис. 7.5 ( – напряжение, направленное по меридиану; – по касательной к окружности). Напряжения растяжения, постоянные по толщине, пропорциональны удлинениям срединной поверхности. Напряжения изгиба, линейно распределенные по толщине и имеющие нулевое значение на срединной поверхности, пропорциональны изменениям кривизны. Предположим, что относительное удлинение срединной поверхности (наибольшее) приближенно равно , а изменение кривизны – , тогда можно сказать, что напряжения растяжения имеют такой же порядок малости, как произведение , а наибольшее напряжение изгиба – такой же порядок, как произведение (где – толщина стенки).
Рис. 7.5
На практике могут встретиться следующие случаи:
1. Деформация растяжения ε велика, а произведение мало, т.е.
.
В этом случае напряжениями изгиба можно пренебречь по сравнению с напряжениями растяжения, т.е. считать, что изгибающие моменты в стенке оболочки равны нулю. Это случай безмоментного напряженного состояния.
2. Величины и имеют одинаковый порядок. Это случай смешанного состояния, когда оболочка работает одновременно на изгиб и растяжение.
3. Величина мала по сравнению с произведением . В этом случае растяжением срединной поверхности, можно пренебречь и считать, что оболочка испытывает моментное состояние.
Очевидно, что безмоментное состояние может возникать в двух случаях: или когда толщина мала (тканевые, пленочные оболочки), или когда мало изменение кривизны стенки . Оболочки с малой толщиной стенки не могут воспринимать изгибающий момент вследствие весьма малой изгибной жесткости. Они не могут также воспринимать напряжения сжатия, так как на них образуются складки. Расчет оболочек этого типа имеет некоторые особенности. В настоящем курсе такие оболочки не рассматриваются.
Для получения безмоментного состояния в оболочке конечной толщины необходимы следующие условия:
1) Форма оболочки должна быть плавной, не должно быть разрывного изменения радиусов кривизны.
2) Нагрузки должны быть равномерными или плавно изменяющимися. Не должно быть сосредоточенных сил или моментов, вызывающих значительное изменение кривизны.
3) Края оболочки должны быть закреплены таким образом, чтобы реактивные силы не имели значительной поперечной составляющей, а также чтобы не возникали реактивные моменты.
4) При нагружении оболочки несимметричной нагрузкой должны быть предусмотрены связи, препятствующие возникновению чисто моментного состояния. Оболочка не должна иметь свободных открытых торцов.
Следует заметить, что даже если эти условия не полностью соблюдаются и в оболочке возникает растяжение и изгиб, безмоментная теория не теряет своего значения, так как уже на небольшом расстоянии от зоны изгиба (от места приложения сосредоточенных сил или скачкообразного изменения радиусов кривизны) напряженное состояние обычно можно рассматривать как безмоментное.
На краях оболочки, где приложены распределенные поперечные силы или моменты, напряженное состояние можно рассматривать как сумму безмоментного состояния и так называемого краевого эффекта, т.е. местного изгиба стенки оболочки около края.