Некоторые геометрические свойства поверхностей вращения

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя близкими криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей.

Формы оболочек весьма разнообразны и различаются видом срединной поверхности, т.е. поверхности, равноудаленной от внутренней и наружной лицевых поверхностей. Характерной особенностью оболочек является то, что они имеют неплоскую срединную поверхность. Наибольшее распространение получили оболочки, срединная поверхность которых представляет собой поверхность тела вращения (цилиндр, сфера, конус и т.д.). Оболочки других видов сложнее; в настоящем курсе они не рассматриваются.

Оболочка вращения представлена на рис.7.1. Линии, образующиеся при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Один меридиан на чертеже обозначен .

Линии, перпендикулярные меридианам, представляют собой окружности и называются параллелями.

Каждая точка поверхности может быть задана как точка пересечения некоторого меридиана и некоторой параллели. Так, например, чтобы задать положение точки , достаточно задать угол , отсчитываемый от некоторого нулевого меридиана, и расстояние , отсчитываемое от края оболочки вдоль меридиана. Координаты , называемые гауссовыми координатами, наиболее удобны при изучении свойств поверхностей вращения. Иногда вместо координаты более удобно использовать угловую координату , представляющую собой угол между осью вращения и нормалью к поверхности оболочки. В некоторых случаях применяют также цилиндрические координаты ( отсчитывается вдоль оси оболочки; – от оси вращения), а также декартовы координаты

Поверхность вращения может быть задана аналитически, в явной форме

или в параметрической форме

или

Рассмотрим меридиональное сечение оболочки (рис.7.1,б). Радиус кривизны меридиана обозначим через . На чертеже этот радиус соответствует отрезку . Радиус кривизны в направлении, перпендикулярном меридиану, обозначим через . Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между рассматриваемой точкой и осью вращения; на чертеже радиус соответствует отрезку . Действительно, если на параллели взять две рядом расположенные точки и (см. рис.7.1,а) и восставить нормали к поверхности, то эти нормали пересекутся на оси вращения в точке . Следовательно, последняя будет центром кривизны.

Радиусы и называют главными радиусами кривизны поверхности вращения. Эти радиусы обладают свойством экстремальности; это значит, что радиус кривизны в любом другом направлении, наклонном к меридиану, имеет среднюю величину между и .

Кроме радиусов кривизны поверхности и в дальнейшем потребуется еще радиус параллели, проходящей через рассматриваемую точку. Этот радиус связан с радиусом кривизны зависимостью

Радиусы , и угол являются функциями . Для того чтобы они в совокупности определяли поверхность вращения, необходимо, чтобы они подчинялись определенной зависимости. Из чертежа рис. 7.1, б следует

или, учитывая равенство (1),

Дифференцируя левую часть равенства как произведение и учитывая что

получим

Если в качестве независимой переменной использовать угол , то дифференцирование по следует заменить дифференцированием по .

Тогда равенство (2) следует записать в виде

или

Соотношения (2) и (3) представляют собой частный случай общих соотношений Кодацци–Гаусса, которым должны удовлетворять радиусы кривизны всякой поверхности.

Рис. 7.2

При изучении свойств поверхностей важное значение имеет гауссова кривизна

Если , то поверхность имеет выпуклые меридианы, при меридианы поверхности представляют собой прямые линии, при поверхность имеет вогнутые меридианы (рис.7.2). Если две поверхности имеют одинаковую гауссову кривизну, то их можно развернуть одну по другой без разрывов (например, цилиндр и конус можно без разрывов развернуть на плоскость, так как для всех трех поверхностей ).

Знак гауссовой кривизны определяет тип дифференциальных уравнений теории оболочек. Наиболее полно разработана теория оболочек положительной и нулевой гауссовой кривизны.