Вероятностное описание однородного потока событий

Вероятностное описание однородного потока событий сводится к оценке вероятности их наступления в количестве k за промежуток времени Dt, например, прихода в магазин k покупателей за Dt = 1 ч, поступлений в справочное бюро k запросов и т. п.

В теории систем массового обслуживания доказывается, что вероятности обсуждаемых дискретных величин k подчиняются распределению Пуассона:

P_k = (l^k/k!)exp(–l). (1)

В этой формуле для рассматриваемого промежутка времени обозначены:

· k – число наступающих событий (случайная величина);

· P_k – вероятность наступления событий;

· l – интенсивность наступления событий (их среднее число).

Распределение было получено Пуассоном в 1837 г. и носит названия закона Пуассона и закона редких событий.

Сумма вероятностей P_k появлений всех значений k равна единице при любой величине l.

Единственный параметр распределения Пуассона l численно равен среднему значению k_ср и дисперсии s² случайной величины:

s² = k_ср = l.

Распределение Пуассона асимметрично, степень асимметрии зависит от параметра l. С увеличением l асимметрия уменьшается. При l > 9 распределение Пуассона достаточно хорошо представляется нормальным законом с приведенными параметрами.

8.5. Задачи управления с однородными потоками событий.

В тех случаях, когда поток событий в системе массового обслуживания можно полагать простым однородным, распределение Пуассона позволяет получить полезные для управления и планирования вероятностные оценки пропускной способности системы.

Задача 1.

Расчет вероятностей обрывов нити на ткацком станке за смену.

Текстильные ткани вырабатываются на ткацких станках, работающих автоматически, но требующих «ручного» устранения случающихся обрывов нити. Эти операции определяют загруженность станочницы. Число обслуживаемых ею станков планируется в зависимости от количества ожидаемых обрывов нити.

Математическая постановка задачи.

На ткацком станке обрыв нити и его устранение станочницей случаются в среднем 0,375 раза в течение часа работы, образуя однородный простой поток случайных событий, подчиняющихся распределению Пуассона (1).

Требуется рассчитать с 95%-й доверительной вероятностью ожидаемое число обрывов нити на одном станке за 8-часовую рабочую смену.

Решение задачи

При промежутке времени, равном 8-часовой смене, среднее число наступления событий (обрывов) составляет

l = 0,375 ´ 8 = 3.

По формуле (1) для каждогоk = 0, 1, 2, … находится вероятность этого числа обрывов нити. Их графикP_k представлен на рисунке.

Интегральная кривая F_k и кривая плотности вероятностей P_k при l = 3

Из графика P_k видно, что наиболее вероятны 2 – 3 обрыва нити за смену. Количество обрывов k > 6и отсутствие обрывов маловероятны (менее 0,05).

Интегральная (накопительная кривая) F_k отвечает суммарной вероятности обрывов от 0 до k включительно. Из кривой F_k следует, что вероятность отсутствия обрывов или их количества до 6 превышает 0,95. Число обрывов нити свыше 6, то есть 7, 8 или 9, маловероятно, и им можно пренебречь.

Таким образом, при планировании числа ткацких станков, обслуживаемых одной станочницей, можно принять, что на одном станке за смену с доверительной вероятностью не менее 0,95 происходит не более 6 обрывов нити.

Вычисления и графические построения легко выполняются в Excel с использованием встроенной функции ПУАССОН(x; среднее; интегральная) категории Статистические. Функция возвращает вероятности P_k илиF_k и имеет три аргумента:

· x – количество событий, т. е. параметрk в формуле (1);

· среднее – интенсивность наступления событий (их среднее число за рассматриваемый промежуток времени), т. е. параметрl в формуле (1);

· интегральная – логические 0 (ЛОЖЬ) или 1 (ИСТИНА), что определяет форму возвращения распределения вероятностей (соответственно P_k илиF_k).