Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Интегральный признак Коши

Признак Даламбера

Достаточные признаки сходимости рядов

Теорема. Если для ряда с положительными членами

отношение -го члена к –му при имеет конечный предел т.е.

то: 1) ряд сходится в случае

2) ряд расходится в случае

(В случае ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает).

Доказательство. 1) Пусть Рассмотрим число Из определения предела и соотношения следует, что для всех значений начиная с некоторого номера т.е. для будет иметь место неравенство для различных начиная с номера получим:

Рассмотрим теперь два ряда:

составлен из членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем Следовательно, он сходится. Члены ряда начиная с меньше членов ряда

Ряд

Следовательно, ряд сходится.

2) Пусть Тогда, начиная с некоторого номера будем иметь: или

Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

Пример.

Ряд сходится.

Теорема. Пусть члены ряда

положительны и не возрастают, т.е. выполняются, лишь начиная с некоторого

Пример.

Применим интегральный признак, положив Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы.

т.е. интеграл расходится, значит и наш гармонический ряд расходится.

Лекция 21.

Будем теперь рассматривать ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида

где положительны.

Теорема. Если в знакочередующемся ряде

члены таковы, что

и

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов ряда

Из условия следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма положительна, и возрастает с возрастанием Запишем теперь эту же сумму так:

В силу условия каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок и из мы получим число, меньшее, чем т.е. Таким образом, мы установили, что при возрастании возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел причем Однако, сходимость ряда еще не доказана; мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу

Так как по условию то, следовательно,

Тем самым мы доказали, что как при четном так и при нечетном Следовательно, ряд сходится.

Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства выполняются, начиная с некоторого

Замечание 2. Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условию теоремы Лейбница, то нетрудно оценить ошибку, которая получится, если заменить его сумму частичной суммой При такой замене мы отбрасываем все члены ряда, начиная с Но эти числа сами образуют знакочередующийся ряд, сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (т.е. меньше Значит, ошибка, совершаемая при замене на не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Пример.

Этот ряд сходится, так как

1)

2)

Сумма первых членов отличается от суммы ряда на величину меньшую, чем