Собственные числа и собственные векторы линейного

Линейные операторы, матричная запись

Рассмотрим два линейных пространства: размерности n и размерности m.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что

1. Оператор (преобразование) называется линейным,

Вектор называется образом вектора ,

Вектор - прообразом вектора .

Замечание. Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя и называется линейным преобразованием пространства . Далее мы будем рассматривать именно такие операторы.

Можно показать,

Матрица называется матрицей оператора

в базисе , а ранг r матрицы А – рангом оператора .

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы и тождественный оператор , действующий по правилу: .