Этапы решения матричной игры

1. Проверить, имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

2. Упростить платежную матрицу.

3. Если среди элементов платежной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам матрицы необходимо прибавить такое число , чтобы все элементы стали неотрицательными. При этом цена игры увеличится на L, а оптимальные смешанные стратегии не изменятся.

4. Составить пару взаимно двойственных задач ЛП (3.16) – (3.18) и (3.19) – (3.21), эквивалентных данной матричной игре.

5. Определить оптимальные планы двойственных задач.

6. Найти решение игры, используя формулы (3.22) – (3.24).

Пример 12. Найти оптимальные стратегии банков для задачи из примера 10 с платежной матрицей А:

Решение.

1. Проверим, имеет ли игра решение в чистых стратегиях (см. пример 10).

2. Упростим платежную матрицу (см. пример 11) и подпишем над столбцами матрицы смешанные стратегии банка B, которые остались после исключения доминируемых стратегий , , вероятности применения которых равны нулю: , . Рядом со строками матрицы подпишем смешанные стратегии банка А, которые остались после исключения доминируемых стратегий , , , вероятности применения которых также равны нулю: , , .

3. Так как среди элементов упрощенной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам А прибавим такое число , чтобы все значения стали неотрицательными. В нашем примере возьмем . При этом цена игры увеличится на и станет равной , а оптимальные смешанные стратегии банков не изменятся.

4. Подпишем над столбцами матрицы переменные , соответствующие смешанным стратегиям банка В, а рядом со строками матрицы − переменные , соответствующие смешанным стратегиям банка А.

Составим пару взаимно двойственных задач, эквивалентную матричной игре с платежной матрицей А

,

,

5. Решим прямую задачу симплекс-методом:

,

, .

, .

, .

6. Найдем решение игры в смешанных стратегиях.

,

,

,

Следовательно, из общей суммы средств, выделяемых банком А на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 60%, на долю 4-го – 40%. На остальные строительные объекты деньги выделять нецелесообразно.

,

,

,

Из общей суммы средств, выделяемых банком В на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 80 %, а на долю 4-го − 20 % всей суммы. В остальные строительные объекты деньги вкладывать нецелесообразно.

Такое распределение денежных средств банками А и В на строительство пяти объектов позволит им получить максимальную прибыль 0,6 тыс. ден. ед.