Теоремы о сходимости рядов

Числовые ряды

Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

называется числовым рядом (или просто рядом). При этом числа называются членами ряда.

Сумма конечного числа первых членов ряда называется й частичной суммой ряда:

Рассмотрим частичные суммы:

Если существует конечный предел последовательности т.е. то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Если не существует например, при то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Пример.

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Сумма первых членов геометрической прогрессии равна при

1) Если то при и, следовательно,

Значит в этом случае ряд сходится и его сумма

2) Если то при и тогда не существует. Таким образом, в этом случае ряд расходится.

3) Если то ряд имеет вид:

т.е. ряд расходится.

4) Если то ряд имеет вид:

В этом случае при четном, при нечетном.

Следовательно, предела не имеет, ряд расходится.

Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Доказательство. Пусть сумма первых членов ряда сумма отброшенных членов при достаточно большом все отброшенные члены содержатся в сумме сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в Тогда имеем: где постоянное число, не зависящее от Из последнего соотношения следует, что если существует то существует и если существует то существует и а это и доказывает справедливость теоремы.

Теорема 2. Если ряд

сходится и его сумма равна то ряд где какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна

Доказательство. Обозначим ю частичную сумму ряда через а ряда через Тогда

Отсюда ясно, что предел й частичной суммы ряда существует, так как

Итак, ряд сходится и его сумма равна

Теорема 3. Если ряды

и

сходятся и их суммы, соответственно, равны и то ряды

и

также сходятся и их суммы, соответственно, равны и

Доказательство. Докажем сходимость ряда Обозначая его ю частичную сумму через а е частичные суммы рядов и соответственно, через и получим

Переходя к пределу при получим:

Таким образом, ряд сходится и его сумма равна

Аналогично доказывается, что ряд также сходится и его сумма равна Про ряды и говорят, что они получены в результате почленного сложения или, соответственно, почленного вычитания рядов и