Нечітка логіка

Ефективним засобом формалізації і представлення нечітких понять, категорій і знань, у тому числі лінгвістичних висловів є теорія нечіткої множини і заснована на ній нечітка логіка. Отримані в результаті інтерпретації цих описів в термінах нечітких множин логіко-лінгвістичні або нечіткі моделі є конструктивною основою для розробки методів і алгоритмів моделювання процесів в складних системах в умовах невизначеної і неповної інформації. Перевагою нечіткої логіки є можливість використання експертних знань про вирішувані проблеми або структуру об'єкта у вигляді лінгвістичних висловлювань, які представляються нечіткою базою правил: „якщо <входи>, тоді <вихід>".

На жаль, подібні висловлення не можуть бути адекватно формалізовані звичайними математичними методами.

Спроба розвитку формального апарата для залучення часткової належності в теорію множин була почата в середині 60-х років Заде. Він увів поняття нечіткої множини як збірки елементів, які можуть належати цій множині зі ступенем від 0 до 1. Причому 0 позначає абсолютну неналежність, а 1 - абсолютну належність множині). Це було зроблено шляхом застосування поняття функції належності, яке ставить у відповідність кожному елементу універсальної множини число з інтервалу [0,1], що позначає ступінь належності. Поняття функції належності є узагальненням поняття характеристичної функції чіткої множини, що оперує значеннями [0,1]. Тому основні властивості й операції над нечіткими множинами, уведені Заде і його численними послідовниками, є узагальненнями відповідних властивостей й операцій класичної теорії множин.

З метою формалізації нечітких понять і відносин природної мови скористаємося визначенням нечіткої множини.

Визначення 1. Нечітка множина визначається математично як сукупність впорядкованих пар:

де елементи x є X, а Х - універсальна множина нечіткої множини А, що являє собою всю предметну область визначення відповідних функцій належності . При цьому функція належності відображає елементи множини Х на множину чисел в інтервалі [0,1 ], тобто : Х -> [0,1] - представляє собою деяку суб'єктивну міру належності елемента xX до нечіткої множини А. Якщо універсальна множина Х охоплює кінцеве число елементів , .... , то нечітку множину А можна представити символічно у вигляді об'єднання:

причому, у виразі знак "+" не є операцією складання, а інтерпретується як сума множини елементів (), які інакше означають присвоєння певним елементом ступеню належності .

Поняття функції належності є основним формалізмом теорії нечітких множин, за допомогою якого експертні знання ("Якщо - Тоді") перетворюються на строгі математичні моделі.

Функції належності характеризують суб'єктивну міру упевненості експерта в тому, що деяка величина належить певному нечіткому поняттю - терму, яким характеризується та або інша вхідна (вихідна) змінна. При цьому можна виділити три випадки:

• , що означає повну належність елемента x до нечіткої множин А, тобто x A ;

• означає відсутність якої-небудь належності х нечіткій множині А;

• означає часткову належність елемента x до нечіткої множина А.

На рис.3 представлена графічна ілюстрація функції належності змінної У, що показує на прикладі “Ціну”, для трьох нечітких значень („низька”, „середня”, „висока”).

Рисунок 3 – Функції належності нечітких множин „низька” , „середня” , „висока” змінної “Ціна”.

Для задання функції належності використовуються типові види функцій, представлені в таблиці 1 (вибирається та функція, яка найкращим чином апроксимує експертні оцінки).

Таблиця 1. – Типові види функцій, що використовується для задання функцій належності

Функція Гауса

Трикутного вигляду (trimf)

1

1   0

Визначення 2: Підмножина елементів SX, для яких називається носієм (суппортом – анг. Support) нечіткої множини А і позначається наступним чином: Supp`A=.

Визначення 3: Нечіткою змінною називається набір де - найменування нечіткої змінної; - область її визначення; - нечітка множина на X, що описує обмеження на можливі значення нечіткої змінної .

Згідно з визначенням Л.Заде, „під лінгвістичною змінною розуміється така змінна, значеннями якої є слова і словосполучення на деякій природній або штучній мові". Формально лінгвістичну змінну можна визначити таким чином:

Визначення 4. Лінгвістична змінна - це набір п'яти елементів: <Х, Т(Х), U, G, М>,

де Х- ім'я змінної; Т(Х) - множина термів, тобто множина імен (позначень) лінгвістичних значень Х; U - область міркувань (the universe of discourse); G - правило (the grammer) генерації імен ; M - множина семантичних правил скріплення кожного Х з тим, що воно позначає. Наприклад, для опису вартості виробу в процесі прийняття рішень скористаємося такою лінгвістичною змінною: <Вартість,Т,[500, 1200],G,M>

де Т={МАЛА, НЕВЕЛИКА, СЕРЕДНЯ, ВЕЛИКА}; G-процедура вибору елементів множини Т; М - процедура експертного опитування.

Для розуміння основних логічних операцій над нечіткою множиною, що виконуються в процесі логічного нечіткого виведення введемо таке визначення.

Визначення 5: Трикутною Т-нормою називається функція двох змінних Т: яка задовольняє таким умовам:

• Функція Т є монотонною незростаючою для двох змінних :

для

• Функція Т є обмеженою:

Т(а,0) = 0, Т(а, 1) = а, де а,b,с,d [0,1];

• Функція Т задовольняє умові асоціативності: Т(Т(а,b),с) = Т(а,Т(b,с));

• Функція Т задовольняє умові комутативності: Т(а,b)=Т(b,а).

Дію Т-норми на аргументах а і b позначаємо таким чином:

.

Частіше всього як функція Т використовуються такі вирази:

(добуток a,b)

Якщо змінними а і b є функції належності нечіткої множини А і В, тоді можемо записати таку рівність:

де Т - є однією з вище представлених функцій.

Визначення 6: Трикутною S-нормою називається функція двох змінних S:

якщо є незростаючою і задовольняє таким умовам:

• комутативності: S(а,b) = S(b,а).

• асоціативності: S(S (а,b),с) - S(а,S(b,с));

• обмеженості - S(l, 1) = 1; S(а,0) = а; S(а, 1) =1;

Функція S називається також конормою або нормою дуальною відносно до Т-норми.

Дія S - норми на аргументах а і b позначаємо таким чином:

Приклади S-норми:

S(а,b) = max(а,b);

S(а,b)=а + b-а * b;

S(а,b) =min(1,а+b) .

Якщо змінними а і b є функції належності нечіткої множини А і В, тоді суму цієї множини (об'єднання) можемо записати таким чином:

де S-норма є однією з вище представлених функцій.

Нечіткі відношення грають фундаментальну роль в теорії нечітких множин і логіки при моделюванні складних систем, оскільки із їх допомогою виконується операція нечіткого логічного виведенння. Подібно нечіткій множині, нечітке відношення можна задати за допомогою його функції належності:

де L - може бути множиною дійсних чисел, відрізком [0,1] дійсної прямої, множиною лінгвістичних змінних або повною дистрибутивною граткою. Тоді під нечітким відношенням R розуміється функціящо відображує декартовий добуток множин в L.

Визначення 7: Нечітким відношенням R між множинами Х і Y називається функція

де в загальному випадку передбачається, що L - це повна дистрибутивна гратка.

Якщо нечіткі множини і , задані на деякій універсальній множині: а є складовими нечіткого правила „ЯКЩО Х, ТОДІ Y". Тоді нечітке відношення між множинами Х і Y представляють собою матрицю вигляду:

в якій елементи, розташовані на перетині i-того рядка і j-того стовпця визначаються таким чином:

Операція нечіткого логічного виведення має такий вигляд:

Такий запис інтерпретується таким чином:

ЯКЩО факт Х виходить з факту Y ,ТО факт Х' виходить з Y',

де Х, Y, Х', Y' - нечіткі множини.

При цьому Y’ визначаємо за формулою:

X,X’U,Y,Y’V

Визначення 8: Система нечіткого виведення представляє собою сукупність таких елементів:

блок введення нечіткості (fuzzification);

другий блок – це основа системи – база нечітких знань, що формується спеціалістами предметної області у вигляді сукупності нечітких предикатних правил;

механізм логічних виводень рішень;

блок приведення до чіткості (defuzzification).

Функціональна структура системи нечіткого виведення наведена на рис.4, яка в літературі називається системою Мамдані-Заде.

В блоці введення нечіткості виконується перетворення множини вхідних даних , в нечітку множину А, що характеризується функцією належності .

Рисунок 4 – Функціональна структура системи нечіткого виведення

Нечітка база знань представляє собою сукупність правил “ЯКЩО <входи> - ТОДІ <вихід>”, які відображають знання експерта і його розуміння причинно-наслідкових зв’язків, що характерні для об’єкта або процесу, які моделюються.

Нечітка база знань являє собою опис цих зв’язків на звичайній мові з використанням нечітких множин та лінгвістичних змінних.

Визначення 9: Нечітке узагальнене правило “modus-ponens” визначає така схема висновку:

де і , є нечіткими множинами, визначеними на X,Y – які є непустими універсальними множинами, а x і y – лінгвістичні змінні. Тоді висновок нечіткого правила може бути записаний за допомогою нечіткої імплікації таким чином:

де “” означає операцію композиції.

Як було вище зазначено, нечітка імплікація рівносильна деякому нечіткому відношенню з функцією належності . Тому функцію належності нечіткої множини В’ можемо знайти за такою формулою:

де При цьому, в залежності від того яким чином реалізується Т-норма, формула може прийняти інший вигляд, тобто якщо Т-норма визначається як мінімум (min), тоді формула прийме такий вигляд:

або виконується операція множення:

Крім представленого нечіткого правила висновку “modus-ponens” в нечіткій логіці використовується узагальнене нечітке правило “modus-tollens”.

Визначення 10: Узагальнене нечітке правило “modus-tollens”визначає наступна схема висновку:

де і , є нечіткими множинами, визначеними на Х,У – які є непустими універсальними множинами, х і у – лінгвістичні змінні. Нечітка множина в схемі нечіткого висновку визначається в результаті композиції відношення:

при цьому

Якщо Т-норма є типу min, тоді попередня формула прийме такий вигляд

В даний час відомо багато різних методів нечіткої імплікації. Розглянемо найбільш відомі з них.

Методи визначення функції належності нечіткої імплікації

Нечітка імплікація типу представляє собою набір правил, що визначають спосіб розрахунку функції належності нечіткого відношення тобто

на основі відомих функцій належності і нечіткої множини і .

> Нечітка імплікація Mamdani:

> Нечітка імплікація Zadeh:

> Нечітка імплікація Larsena:

> Нечітка імплікація Kleene-Dienesa:

> Нечітка імплікація Lukasiewicza:

> Нечітка імплікація Yager'а:

> Нечітка імплікація Willmott'а:

Методи приведення до чіткості

Трансформація нечіткої множини в єдине точкове рішення може бути виконана декількома відомими способами.

> Метод центру тяжіння області ( Center of Area method = COА). Це найбільш широко використовуваний метод дефазифікації. Формула виглядає таким чином:

Спосіб визначення показаний на рисунку

Рисунок 5 – Ілюстрація методу центра тяжіння області

В дискретному випадку розрахунок проводиться за формулою:

> Метод максимума критерію (max criterion method).

Суть цього методу полягає у виборі значення , при якому нечітка множина має максимальну ступінь належності:

> Перший максимум (First-of-Maxima), Чітка величина висновку знаходиться як найменше значення, при якому досягається максимум кінцевої нечіткої множини:

> Метод середнього центру (Center Average Defuzzyfication) визначає значення за такою формулою:

де є точкою, в якій функція належності приймає максимальне значення

Точка називається центром нечіткої множини . На рисунку показана суть цього методу для N=2.

Рисунок 6 – Ілюстрація методу середнього центру

> Метод середнього значення максимуму (mean of maximum method=MOM)

На практиці частіше всього застосовуються методи середнього центру.