Метод условной линеаризации

Аналитические методы расчета

Аналитическими называются методы решения, базирующиеся на аналитическом интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих состояние нелинейной цепи с использованием аналитических выражений характеристик нелинейных элементов.

Основными аналитическими методами, используемыми при решении широкого круга задач электротехники, являются:

– метод условной линеаризации;

– метод аналитической аппроксимации;

– метод кусочно-линейной аппроксимации.

Метод условной линеаризации применяется в случаях, когда в нелинейном уравнении одно из слагаемых в левой части мало по сравнению с другими, вследствие чего, без внесения существенной погрешности, его можно соответствующим образом линеаризовать. Благодаря этому все уравнение становится линейным для одной из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, например . С использованием этой характеристики находится затем временная зависимость для второй определяющей ее переменной по алгоритму:

.

Метод отличается простотой, однако получаемое с его использованием решение является достаточно приближенным, вследствие чего он в основном применяется для ориентировочных расчетов.

В качестве примера использования метода определим максимальное значение тока в цепи на рис. 1, если , где ; ; ; . Вебер–амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности приведена на рис. 2.

1. Запишем уравнение состояния цепи после коммутации

.

(1)

2. Используя метод условной линеаризации, определим второе слагаемое в левой части (1) как

,

(2)

где ; и - амплитуды потокосцепления и тока в установившемся послекоммутационном режиме; .

3. Подставив (2) в (1), получим линейное дифференциальное уравнение

,

решением которого на основании классического метода расчета переходных процессов является

.

4. Принужденная составляющая определяется соотношением

,

где .

Для определения и предположим (с последующей проверкой), что . При этом условии и . По зависимости для полученного значения найдем .Тогда и , т.е. сделанное выше предположение корректно.

Следует отметить, что в общем случае значения и могут быть определены, например, итерационным методом.

Определив , запишем

.

Поскольку по условию , то .

Таким образом,

.

(3)

6. Не решая трансцендентное уравнение, будем считать, что максимальное значение потокосцепления имеет место примерно через полпериода своего изменения, т.е. при . Подставив это время в (3), получим:

По кривой для найдем максимальное значение тока , которое в раз превышает амплитуду тока в установившемся послекоммутационном режиме. Напомним, что для линейной цепи

Примечания: 1. Обычно при использовании метода условной линеаризации для расчета переходного процесса при подключении нелинейной катушки индуктивности к источнику синусоидального напряжения эквивалентная линейная индуктивность определяется исходя из амплитудных значений тока и потокосцепления в установившемся послекоммутационном режиме, как это и было сделано в рассмотренном выше примере. Однако если необходимо оценить максимально возможное значение тока, то величину индуктивности следует определять по начальному участку вебер–амперной характеристики, где максимальна.

2. Если сопротивление резистора в ветви с нелинейной катушкой достаточно велико, так что , то следует пренебречь нелинейностью слагаемого , положив . В этом случае нелинейное уравнение (1) сводится к линейному вида

,

и соответственно кривая определяется по кривым и .