Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.
Теорема о единственности степенного разложения.Если , то и, следовательно, (ряд Тейлора).
Доказательство. Повторно дифференцируя исходное тождество, получаем
.. Поэтому . Ч и т.д.
Как мы уже знаем, для представимости функции в виде суммы степенного ряда на интервале необходимо, чтобы эта функция была там бесконечно дифференцируемой. Это условие, однако, не является достаточным.
Контрпример.Пусть . Нетрудно доказать, что , в частности, . В то же время, невозможно представить в виде , иначе было бы , что неверно, так как .
Сформулируем теперь достаточное условие представимости функции рядом Тейлора. Введём для этого величины .
Теорема.Если последовательность чисел ограничена, то
на отрезке .
Пользуясь этой теоремой и конечной формулой Тейлора для функций и , получаем разложения в ряд Тейлора этих функций на всей числовой оси:
1) ;2) ; 3) ;
4) ;5) .
Немного сложнее обосновать разложения:
6) ;7) ;
8) .
В последнем разложении используется обозначение .