Несобственные интегралы от разрывных функций
Пусть функция определена и непрерывна при а при терпит разрыв. Тогда
Если предел, стоящий справа существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то – расходящимся.
Аналогично, если определена и непрерывна при а при терпит разрыв, то
Если имеет разрыв в какой-нибудь промежуточной точке отрезка то по определению
Если оба интеграла в правой части сходятся, то сходится и интеграл этот интеграл расходится, если расходится хотя бы один из интегралов справа.
Пример 1. .
Пример 2. .
Вычислим каждый интеграл отдельно.
.
Следовательно, расходится.
Если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке то получили бы неверный результат: что невозможно.
Если определенная на имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва то
если каждый из несобственных интегралов в правой части сходится. Если же хотя бы один из этих интегралов расходится, то и тоже расходится.
Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичные тем, которые были для оценки интегралов с бесконечными пределами.
Теорема 1. Если на функции и разрывны только в точке причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства и сходится, то также сходится, причем
Теорема 2. Если на функции и разрывны только в точке причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства и расходится, то и расходится.
Теорема 3. Если знакопеременная функция на разрывная только в точке и сходится, то сходится и причем говорят, что он сходится абсолютно.
Пример. Сходится ли
сходится.
Следовательно, тоже сходится, причем он
Ряды
Лекция 19.