Формула трапеций.

Интегрирование по частям

Замена переменного в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл где функция непрерывна на отрезке Введем новое переменное по формуле

Если 1)

2) и

Доказательство. Если есть первообразная для функции то можем написать следующие равенства:

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.

Замечание. При вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной. Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл.

Пример.

Сделаем подстановку:

Определим новые пределы:

Следовательно,

Вычисленный интеграл с геометрической точки зрения представляет площадь круга, ограниченного окружностью

Пусть и дифференцируемые функции от Тогда

Это и есть формулы прямоугольников.

Из рисунка ясно, что если положительная и возрастающая функция, то (1) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из входящих прямоугольников, а (1') – площадь ступенчатой фигуры, составленной из выходящих прямоугольников.

Ошибка тем меньше, чем больше (меньше шаг деления

Естественно ожидать, что мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это было в формулах прямоугольников, а вписанной ломаной. Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами Так как площадь первой из этих трапеций равна второй - и т.д., то

или

Это и есть формула трапеций.

Число, стоящее в правой части формулы (2), есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (1) и (1').

Чем больше будет (меньше шаг деления тем с большей точностью сумма, написанная в правой части приближенного равенства (2), будет давать значение интеграла.

Лекция 17.

Приложения определенного интеграла