Пример 3

Пример 2

Решить неравенство

Преобразовываем:

1) Записываем соответствующее тригонометрическое уравнение: и пишем формулу для его корней: . Расписываем на два ответа: и

2) Отмечаем точки на единичной окружности

3) Обводим дугу окружности. У нас знак «меньше», значит, это будет нижняя часть окружности

4) Определяем, какая точка будет начальной, какая конечной при движении против часовой стрелки

5) У нас получилась начальная точка , конечная , начальная точка больше конечной, значит, надо к конечной прибавить 2π, получим

6) Записываем двойное неравенство:

7) Решаем его так же, как и при решении уравнений: избавляемся от π:

и переносим числа из середины влево и вправо с противоположным знаком:

Получился ответ:

Решить неравенство

При решении соответствующего тригонометрического уравнения получим две точки на окружности, задаваемые одной формулой: . Но, конечно, обводить дугу между ними не надо.

Вообще при решении неравенств с тангенсом на окружности должны получаться две дуги, симметричные относительно центра окружности. Точка π/4 является началом (или концом) одной из дуг, точка 3 π/4 – началом или концом другой. Значит, возьмем любую из этих точек и попытаемся найти второй конец дуги.

Берем точку π/4, в которой тангенс равен 1. Пытаемся представить, как ведет себя тангенс в данной четверти окружности. При именении угла от 0 до π/2 тангенс увеличивается (поскольку синус растет, а косинус уменьшается). Значит, тангенс будет больше единицы на участке от π/4 до π/2. А дальше тангенс будет отрицательным. Значит, начало дуги – в точке π/4, конец – в точке π/2. Вот мы и нарисовали дугу. В ответ надо записать ее границы, прибавляя к каждой πn. Получим: . А на окружности надо отобразить эту дугу симметрично относительно центра.