Выбор корней, принадлежащих определенному интервалу

Уравнения, где есть тангенс и надо приводить к общему знаменателю

Пример 1:

Представляем tgx как sinx/cosx и приводим к общему знаменателю:

Теперь у нас получилось уравнение, которое сводится к квадратному, которое благополучно решается

В заданиях ЕГЭ обычно требуется решить уравнение и выбрать корни, принадлежащие определенному интервалу.

Выбирать корни, принадлежащие интервалу, можно так же, как и наименьшее положительное или наибольшее отрицательное значение, то есть подставлять по очереди n в общий ответ, находить значения корней и проверять, принадлежат они интервалу или нет.

Но есть более удобный способ.

Разбираем на примере:

Рещить уравнение: и найти корни, принадлежащие промежутку

Это уравнение мы уже решили (в п.3), и получили ответы и

Теперь будем выбирать те ответы, которые принадлежат заданному промежутку.

Для этого надо каждый из ответов заключить в двойное неравенство, где слева и справа стоят границы промежутка. В нашем случае:

Дальше получившиеся неравенства надо решать относительно n.

Сначала делим все на π:

Затем все, что без n, переносим из середины влево и вправо с противоположными знаками и делим на коэффициент при n:

А потом по эти неравенствам выбираются подходящие ЦЕЛЫЕ значения n. В нашем случае:

Ну и осталось для каждого ответа подставить соответствующее значение n и получить конкретное число.

В нашем случае:

Главное, в ЕГЭ не забыть написать и общий ответ, и ответы, принадлежащие промежутку! То есть ответ запишется в следующем виде:

Общая формула: и

Корни, принадлежащие промежутку : , ,

Таким же способом можнонаходить и наименьший положительный и наибольший отрицательный корень, только там получается не двойное неравенство, а обычное.

Например, у нас был ответ и надо было выбрать наибольшее отрицательное число.

Пишем неравенства для каждого ответа:

Решаем эти неравенства относительно n, получим

Теперь осталось только подставить граничные значения n, причем n должно быть целым.

Рассматриваем первый ответ. Первое целое число, которое меньше -3, это -4, подставляем: х=6+2(-4)=6-8=-2

Рассматриваем второй ответ. Первое число, меньшее -4,5 – это -5, подставляем: х=9+2(-5)=9-10=-1.

Из этих двух ответов выбираем наибольший, это -1.