Макетування книжково-журнальних видань.

X

X MM

 

Проколотий окіл – це той самий круг з якого викинули точку.

Нехай задана ф-ція двох змінних в деякому проколотому околі точки .

Число А наз. границею ф-ції в т. (, якщо для будь-якої послідовності точок площини Оxy , ,…,…, що лежать в проколотому околі точки і відстань відповідні значення ф-ції

Позначення:

або

 

Виконується теорема: границя суми, різниці, добутку, частки двох функцій дорівнює сумі, різниці, добутку, частці їх границь (якщо це можна обчислити).

Неперервність функції

Нехай ф-ція визначена в деякому проколотому околі точки .

01. Якщо границя функції в точці дорівнює значенню функції в цій точці, то функція називається неперервною в точці

(1)

 

В точці графік ф-ції є нерозривною поверхнею.

02. Якщо порушується умова (1), тобто границя або значення ф-ції не існують, або не рівні між собою, то точка називається точкою розриву ф-ції .

Тоді й поверхня має розриви. Ф-ція двох змінних чи поверхня може мати точки розриву і лінії розриву.

03. Ф-ція наз. неперервною в деякій області А (А – деяка площадка на площині Оху), якщо неперервна в кожній точці області А.

Частинні похідні і градієнт

z

z=f(x,y)

z

y y


       
   
 
 

 

 


Нехай визначена в деякому околі точки М(х,у). Точка належить цьому околу. називається частковим приростом ф-ції z по змінній х в точці М.

Аналогічно можна знайти частковий приріст ф-ції по змінній у:нехай точка належить також області визначення функції ,

Якщо взяти точку із області визначення функції, то

називається повним приростом функції z в точці М.

Означення. Частинною похідною ф-ції z в точці M(х,у) по змінній х – наз. границя відношення часткового приросту ф-ції по змінні х до приросту аргументу , коли , якщо ця границя є числом. Позн. , або :

Аналогічно можна шукати частинну похідну по змінній у. Позн. або :

Оскільки означення частинної похідної по х співпадає з означенням похідної ф-ції однієї змінної х при сталому у, то частинну похідну можна шукати за табличкою похідних і правилами диференціювання ф-ції однієї змінної, вважаючи х змінною, а у сталою.

Аналогічно шукають , але тоді у – змінна, а х – стала.

Приклад.

Домашнє завдання на I практ.заняття. Повторити табличку похідних і правила диференціювання. Написати її в зошит з прак. занять.

Нехай треба знайти частинні похідні в точці М(3;0), то

, тобто підставляють координати точки у частинні похідні.

Отже, частинні похідні ф-ції двох змінних в точці це два числа.

Вектор з такими координатами і наз. повною похідною або градієнтом

ф-ції z в точці М.Позн. або

Пр.1.

Пр.2. Знайти: в точці М(0;1)

Повний приріст функції і диференціал

  z(M1) z(M) y y+ x M x+ M1
Нехай точкиналежать області

визначення функції z.

- повний приріст ф-ціїв точці М(x;y).

Якщо повний приріст ф-ції в точці М можна ось так виразити через прирости аргументів

, де швидше прямує до нуля ніж

 

при :- деякі числа, то функція називається диференційованою в точці М(х,у).

Величиною можна знехтувати.

Основна частина приросту називається диференціалом функції і позначається dz :

 

якщо прирости аргументів і малі.

 

Приклад. Знайти приріст і диференціал функції в т.М(1,-2).

р р -

нескінченно швидше прямує до нуля ніж відстань ММ при

Отже, dz=.

В точці М:

Теорема. Якщо f диференційована в точці М(х,у), то існують частинні похідні в т.М, які дорівнюють числам та відповідно:

Тоді формула диференціалу має вигляд:

Перевіримо формулу на нашому прикладі

тоді - зійшлося.

Якщо , то , і
Аналогічно .

і формула для диференціалу набуває вигляду:

(1)


Ця формула диференціалу має таку властивість інваріантності: вона правильна навіть тоді, коли х та у є внутрішніми функціями від інших змінних.

Похідна складної функції

1) Якщо функція двох змінних , де , тобто аргументи u та v є внутрішніми функціями від змінних х та у то її частинні похідні шукаються за формулами:

Mожна показати це, використовуючи властивість інваріантності диференціалу

Приклад. , де ,


2)Якщо ф-ція , де , тобто u та v є внутрішніми функціями від змінної t, тоді z є складеною функцією від одної змінної t і її похідну шукають аналогічно за формулою.

Приклад. , де

Підставивши u та v отримаємо складну ф-цію , з якої важко взяти похідну. Треба логарифмувати. А за нашою формулою

(можна тепер підставити u та v) .

Похідна неявно заданої функції

1) Нехай функція однієї змінної y = y (x) задана неявно,

F (x, y) = 0

тобто рівнянням , де , де F – функція двох змінних.

Візьмемо диференціали з обох частин цього рівняння: dF = 0 і, оскільки, формула диференціалу правильна і тоді коли х чи у є внутрішніми функціями,

dF = Fx dx + Fу dy,

Fxdx + Fуdy = 0.

З цього рівняння знайдемо похідну:

 

у’x = тобто в чисельнику береться похідна з F по змінній, а в знаменнику похідна з F по функції

2) Нехай функція двох змінних z(x, y) задана неявно, тобто рівнянням

 
 
F (x, y, z) =0 0


, де F (x, y, z) – функція трьох змінних.

 

Коли ми шукаємо zx, то х – змінна, z – функція, а у – стала. Тому на

z’x =
рівняння F (x,y,z) = 0 подивимось як в пункті 1) і за попередньою формулою:

 

Аналогічно, коли ми шукаємо zy , то у – змінна, z – функція і тоді:

 
 
z’y =

 


Приклад.

z’x =

zу =

Похідна в напрямку

z(M1) z z=f(x,y) z(M)     O M   M1
Задана функція z = f (x, y) в деякому околі

точки М (x, y) і напрямок руху в площині

Оху вектор = (). Позначимо вектор

Точка M1 така, що приріст-вектор . Тоді , де -деяке число, вектор а точка M1

має такі ж координати як вектор

Приріст функції в напрямку це

 
 
z= z (M1) –z (M) = z (

 


Приріст аргументу буде прямувати до нуля, якщо t → 0.

= =
Похідною функції в напрямку називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до приросту аргументу, коли останній прямує до нуля, якщо ця границя скінченна. Позначається а бо .

 

 

Фізичний зміст це швидкість зростання функції в даному напрямку.

Частинні похідні zx та zy – це похідні в напрямках осей Ох та Оу відповідно, тобто в напрямках .

Властивість похідної в напрямку. Похідна залежить тільки від напрямку і не залежить від довжини вектора :

(M) =

пр
Справедлива теорема: якщо функція диференційована в точці М то похідна в напрямку дорівнює проекції вектора-градієнта функції z в точці М на вектор :

Нагадування:

Доведення теореми. ,

= = .

Зауваження. Проекція вектора на вектор також не залежить від довжини

вектора, на який проектують.

Приклад. z = x4 + y4 + 2x3y , =(3,4) . Знайти в точці M (1; 2).

(M) = (16; 34)

= пр= = = .

Похідні вищих порядків

Нехай задана функція двох змінних z = f (x, y).

Її частинні похідні zx та zy є також функціями двох змінних х, у.

З них також можна брати частинні похідні.

(zx)х позначається z’’xx або , ((zу)у позначається z’’ або .

(zу)х позначається z’’уx або .

(zу)у позначається z’’у2 або .

Це будуть частинні похідні другого порядку для початкової функції. Їх є чотири і їх складають у матрицю – повну похідну другого порядку:

 
 

 

 


Приклад. z = x2 sin y. Знайти похідні другого порядку і z’’ в точці М (1; ).

z‘х = 2x sin y

z’у = х2 cos y

z‘’х2 = 2 sin y = 2 sin = 2

z ‘’хy = 2x cos y = 2 cos = 0

z‘’yx = 2x cos y = 2 cos = 0

z‘’y2 = x2 (-sin y) = 1 (-sin ) = - 1.

Похідні z‘’yx і z‘’хy називають змішаними похідними другого порядку.

Теорема. Якщо змішані похідні z‘’yx, z‘’хy існують і неперервні в деякому околі точки М, то вони рівні: z‘’yx =z‘’хy.

(Можна переконатись в справедливості теореми на попередньому прикладі.)

Дослідження на екстремум

Означення. Точка Моо, уо) називається точкою максимуму (мінімуму) функції z = f (x, y) в області D, якщо для всіх точок М (х, у) із області D

f (х, у)f (xo, yo) (f (х, у)f (xo, yo)).

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму. Якщо точка є екстремумом в деякому околі точки Мо то вона називається точкою локального екстремуму функції.

Теорема 1(необхідна умова локального екстремуму). Якщо Моо, уо) є точкою локального екстремуму функції f (х, у) і існують zх і zу то

вони рівні нулю, тобто виконується система рівнянь:

Доводиться аналогічно як для функції однієї змінної.

Теорема 2 (достатня умова локального екстремуму).

Якщо в точці Моо, уо) частинні похідні І-го порядку рівні нулю:,

то шукають повну похідну другого порядку матрицю z’’ (Mo) і її визначник

det z’’о) і можливі три випадки:

1) det z’’ о) < 0, то немає екстремуму в цій точці.

2) det z’’ о) > 0, то Мо є точкою екстремуму: мінімум, якщо z‘’х2о) > 0 і максимум, якщо z‘’х2о) < 0.

3) det z’’о) = 0, то екстремум може бути або не бути, потрібні додаткові дослідження.

 

Приклад. z = (x – 1)2 + 2y2. Дослідити на екстремум.

х = 1, у = 0 Мо (1, 0) – критична точка.

z‘’х2 = 2

z‘’хy = 2

z‘’хy = 0

z‘’хy = 0 z’’ =

z‘’у2 = 4 det z’’ = 8 – 0 = 8 > 0. Отже, є екстремум в точці (1; 0).

z‘’х2 = 2 > 0, тобто є min, zmin = z (1; 0) = 0 + 0= 0.


Дослідження функції двох змінних на найбільше і найменше значення в закритій області

а) Шукають критичні точки, які входять в область і, в яких zх і zу дорівнюють нулю або не існують.

б) Шукають критичні точки на межі області. Якщо треба, розбивають її на

різні криві. На кожній кривій функція z стає функцією однієї змінної (якщо з рівняння кривої виразити одну змінну через іншу і підставити знайдений вираз у формулу функції z).

в) Обчислюють значення функції z в усіх знайдених критичних точках і в точках, де з’єднуються криві і вибирають з них найбільше та найменше значення.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції z = x2 + y2 - xy +x+ y в області D, обмеженій лініями x=0, y=0, x+y+3=0.

Зобразимо область D. Це трикутник у третій координатній чверті.

М(-1;-1) є D.

,

,

A -3 M1 B M2 M M3 -3 C
.

Добавимо ще точки А(-3;0), В(0;0), С(0;-3).

z(M)=z(-1;-1)=1+1-1-1-1=-1 -- найменше значення z

z(M1)=z(-1/2;0)=1/4-1/2=-1/4 z(M2)=-1/4

z(M3)=9/4+9/4-9/4-3/2-3/2=-3/4

z(A)=z(C)=z(-3;0)=9-3=6 -- найбільше значення z

z(B)=z(0;0)=0.