Гармонічні функції та їх властивості

Таким чином, фундаментальний розв’язок оператора теплопровідності представляє собою функцію, що моделює температуру стрижня в точці в момент часу за рахунок дії миттєвого точкового джерела інтенсивності яке діє в початковий момент часу в точці .

Для побудови функції Гріна граничних задач (4.20), (4.21) на півпрямій використаємо метод відображення теплових джерел.

Якщо на прямій розташувати в довільній точці миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу інтенсивності , а симетричній точці миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу і має інтенсивність , то з фізичних міркувань можна очікувати , що в точці , яка лежить посередині між точками та , вплив теплових джерел дає нульову температуру. Дійсно, виходячи з фізичного змісту фундаментального розв’язку, отримаємо, що температура від дії двох точкових джерел дорівнює

(4.22)

Легко перевірити, що , , а другий додаток задовольняє однорідному рівнянню теплопровідності при . Таким чином є функція Гріна першої граничної задачі рівняння теплопровідності для півпрямої.

Якщо на прямій розташувати в довільній точці миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу інтенсивності , а симетричній точці миттєве точкове джерело, яке діє в момент часу і має інтенсивність , то з фізичних міркувань можна очікувати , що в точці , яка лежить посередині між точками та , тепловий потік буде дорівнювати нулю.

Запишемо температуру в цьому випадку

(4.23)

Легко перевірити, що ,

Таким чином є функцією Гріна другої граничної задачі рівняння теплопровідності для пів прямої.

Для запису розв’язку граничних задач (4.20), (4.21) будемо використовувати формули (3.22) та (3.23) , які треба записати для випадку пів прямої

Для першої граничної задачі будемо мати:

(4.24)

Для другої граничної задачі отримаємо

(4.25)

Продемонстрований метод це лише один з прийомів , який використовується для побудови функції Гріна.

Означення 1Функцію називають гармонічною в деякій відкритій області , якщо і ., тобто функція є двічі неперервно диференційованим розв’язком рівняння Лапласа.

Означення 2Функцію називають гармонічною в деякій точці, якщо ця функція гармонічна в деякому околі цієї точки.

Означення 3Функцію називають гармонічною в деякій замкненій області, якщо вона гармонічна в деякій більш широкій відкритій області.

З гармонічними функціями у тривимірних і двовимірних областях ми вже зустрічалися, а саме нам відомо, що

(5.1)

(5.2)

Інтегральне представлення функцій класу

Для отримання інтегрального представлення функцій класу будемо використовуватидругу формулу Гріна для оператора Лапласа.

(5.3)

В якості функції оберемо довільну функцію ,а у якості , фундаментальний розв’язок оператора Лапласа для тривимірного евклідового простору

В результаті підстановки цих величин в (5.3) отримаємо

Після обчислення другого доданку в лівій частині можемо записати формулу інтегрального представлення функцій класу .

(5.4)

У випадку коли функція є гармонічною в області то формула (5.4) прийме вигляд:

(5.5)

З формули (5.5) та (5.3) можна отримати деякі властивості гармонічних функцій:

Властивість 1Гармонічна в області функція має в кожній внутрішній точці області неперервні похідні будь – якого порядку. Дійсно, оскільки , то для обчислення будь – якої похідної необхідно обчислити їх шляхом диференціювання підінтегральної функції, яка має похідні будь = якого порядку:

Властивість 2Якщо гармонічна функція в скінченій області с границею то має місце співвідношення (5.6)

Дійсно, у формулі (5.3) оберемо . Тоді інтеграл в лівій частині і другий інтеграл правої частини перетворюється в нуль. В результаті чого отримаємо рівність (5.6).

Теорема 1(про середнє значення гармонічної функції)

Якщо функція гармонічна в кулі і неперервна в замиканні цієї кулі, то значення гармонічної функції в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері, що обмежує кулю.

ДоведенняВикористаємо формулу (5.5) у якій в якості поверхні візьмемо сферу радіусу з центром у точці , і обчислимо значення функції в точці

Оскільки , то , а .

Таким чином

Оскільки перший інтеграл дорівнює нулю, то остаточно маємо

(5.7)