Упражнения.

Определения.

Морфизмы групп.

Пусть G₁ – группа с бинарной операцией *, G₂ – группа с бинарной операцией × .

1. Отображение j : G₁ ® G₂ называется морфизмом (или гомоморфизмом) групп, если " a, b Î G₁ j(a*b) = ja ×jb.

2. Если j - морфизм и биекция, то j называется изоморфизмом.

3. Если j - морфизм и инъекция, то j называется мономорфизмом.

4. Если j - морфизм и сюръекция, то j называется эпиморфизмом.

5. Если морфизм j : G₁ ® G₁, то j называется эндоморфизмом.

6. Если j : G₁ ® G₁ - изоморфизм, то j называется автоморфизмом.

1.Пусть j : G₁ ® G₂ , y : G₂ ® G₃ - морфизмы групп.

Доказать, что y j : G₁ ® G₃ - морфизм групп.

2. Пусть AutG – множество автоморфизмов группы G. Дока-

зать, что AutG – группа.

Пусть j : G₁ ® G₂ - морфизм групп, e₁ – нейтрал в G₁, e₂ – нейтрал в G₂ .

Утверждение 1. je₁ = e₂ , j(g ^-1) = j(g) ^-1 "g Î G₁.

Доказательство. Пусть je₁ = с. Тогда j(e₁e₁) = je₁je₁ = =je₁ Þ сс = с Þ с ^-1сс = с ^-1с Þ e₂с = e₂ Þ с = e₂ . Далее j(gg ^-1) =j(g)j(g ^-1) = je₁ = e₂ Þ j(g ^-1) = j(g) ^-1.



Определение.Ядром морфизма j : G₁ ® G₂ называется Kerj = j ^-1e₂ = {g Î G₁| jg = e₂}.

Утверждение 2.Kerj - нормальная подгруппа в G₁.

Доказательство. Пусть a, bÎ Kerj. Тогда ja = jb = e₂ Þ

j(ab) = jajb = e₂e₂= e₂ Þ abÎ Kerj. Также j(а ^-1)= j(а) ^-1 =

= e₂^-1 = e₂ Þ a ^-1Î Kerj. И наконец, je₁ = e₂ Þ e₁Î Kerj.

Следовательно, Kerj - подгруппа в G₁.

Пусть теперь gÎG₁, aÎKerj. Тогда j(g ^-1аg)= j(g)^-1jаjg= = j(g)^-1e₂jg = e₂ Þ g ^-1аg Î Kerj.

Следовательно, Kerj - нормальная подгруппа в G₁.



Утверждение 3.j - инъекция Û Kerj = {e₁}.

Доказательство. Þ. Пусть j - инъекция, и а Î Kerj Þ

jа = je₁= e₂ Þ а = e₁ Þ Kerj = {e₁}.

Ü . Пусть Kerj = {e₁}, и jа = jb. Тогда j(аb^-1) =jа×(jb)^-1= = e₂ Þ аb^-1Î Kerj Þ аb^-1= e₁ Þ a = b Þ j - инъекция.



Лекция 40.