Третя ознака. Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то трикутники подібні.
Друга ознака. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то трикутники подібні.
Перша ознака. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то трикутники подібні.
У трикутнику АВС (рис. 6) проведено відрізки AD і BE, що перетинаються в точці О. Відомі відношення, в яких точки D і Е поділяють відповідні сторони:
Рис. 6
Знайдемо відношення, в яких відрізки AD і BE поділяються точкою О. За умовою маємо:
Проведемо відрізок DF || BE 
. За теоремою Фалеса 
. Звідси визначаємо
Застосовуючи ще раз теорему Фалеса, дістаємо:
або
Аналогічно, провівши через точку Е провести пряму, паралельну AD, знайдемо
15.3. Чотирикутники
Чотирикутник називається опуклим, якщо він міститься в одній півплощині відносно кожної прямої, якій належить його сторона.
Властивості та ознаки паралелограма як одного з видів чотирикутників було розглянуто раніше (див. с. ). До частинних випадків паралелограма належать такі чотирикутники, як ромб, прямокутник і квадрат.
Ромбом називається паралелограм, усі сторони якого рівні між собою.
Крім властивостей паралелограма ромб (див. рисунок) має свої окремівластивості:
а) кожна діагональ ромба є бісектрисою його кутів;
б) діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
Прямокутникомназивається паралелограм, усі кути якого прямі.
Окрема властивість прямокутника: діагоналі прямокутника рівні між собою.
Звідси випливає важлива властивість прямокутного трикутника: