Структура эрмитова оператора.

Лемма.Пусть j : Нп® Нп - эрмитов оператор, Нп É L –

j-инвариантное подпространство. Тогда L^ - j-инвариантное подпространство.

Доказательство." хÎ L, y Î L^ (j x, y) = 0 = (x,j y) Þ j(L^)^ L Þ j(L^)Í L^ .

ÿ

Как и в теореме из п.22.3Нп=L1ÅL2Å…ÅLп , где все Li – подпространства размерности 1, j-инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L= <e>, и j : L ® L - эрмитов оператор, то j е = a е, aÎ СÞ

(j е,е)= (a е,е)= a(е,е)= (е, j е)= (е, a е)= ( е,е) Þ a =Þ aÎ R.

В разложении Нп = L1ÅL2Å…ÅLn выберем в каждом Li единичный вектор иi . Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Нп. В этом базисе матрица эрмитова оператора j имеет вид: [] = diag(a1,,…,an), где все asÎ R . Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого эрмитова оператора j : Нп ® Нп $ ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица j имеет вид: [] = diag(a1,a2,…,an), где все asÎ R. Наоборот, если [] = diag(a1,…,an), где все asÎ R, то j - эрмитов.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой эрмитовой матрицы А $ унитарная матрица

Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т -1АТ = diag(a1,a2,…,an), где все asÎ R .

Определение. Линейный оператор j в евклидовом или унитарном пространстве называется нормальным, если

j*j = jj*.

Заметим, что ортогональные и унитарные операторы –

нормальные, так как j*j = jj* = id, самосопряженные и эрмитовы операторы – нормальные, так как j* = j .

Можно доказать структурную теорему для нормальных операторов, а затем, как частные случаи, получить из неё структурные теоремы, которые мы доказали для ортогональных, самосопряженных, унитарных, эрмитовых операторов.

 

Лекция 34.