ЭРМИТОВЫ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

П.19.3.

Структура унитарного оператора.

Унитарная группа.

Рассмотрим множество U(Hⁿ) унитарных операторов на унитарном пространстве Нⁿ. Пусть также U(n) – множество унитарных п´п-матриц, SU(n)= {AÎ U(n)| detA=1},

SU(Hⁿ) = {j Î U(Hⁿ)| detj = 1}.

Теорема 2.

1. U(Hⁿ) – группа, 2. U(n) – группа, 3. U(Hⁿ) » U(n),

4. SU(Hⁿ)– подгруппа в U(Hⁿ), 5. SU(n) – подгруппа в U(n).

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2 из п.19.2.

Упражнение. Доказать теорему 2.

Лемма.Пусть j : Н® Н - унитарный оператор, Н É L -

j-инвариантное подпространство. Тогда L^{^} - j-инвариантное

подпространство.

Доказательствоаналогично доказательству леммы из

Пусть j : Н^п ® Н^п - унитарный оператор. По теореме из п.16.7 в Н^п $ L₁ - j-инвариантное подпространство размерности 1. Тогда по лемме L₁^{^} - j-инвариантное подпространство, и Н^п = L₁Å L₁^{^}. Так как j на L₁^{^} - унитарный оператор, то в L₁^{^} $ L₂ - j-инвариантное подпространство размерности 1, и ортогональное дополнение L¢ к L₂ в L₁^{^} также j-инвариантно. Далее, Н^п = L₁ÅL₂ÅL¢, и в L¢ $ L₃ - j-инвариантное подпространство размерности 1, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Н^п= L₁Å…ÅL_п, где все L_i – j-инвариантны, попарно ортогональны, одномерны.

Если L – унитарное пространство размерности 1, L = <e>, и j : L® L - унитарный оператор, то j е = cе, c Î C,

(j е,j е)= (е,е) Û |c|²(е,е) = (е,е) Û |c|²=1, c = cosa + i×sina .

В разложении H^п = L₁ÅL₂Å…ÅL_n выберем в каждом L_i единичный вектор. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Н^п. В этом базисе матрица унитарного оператора j имеет диагональный вид:

[] = diag(l₁ ,l₂ ,...,l_n), где все l_s = cosa _s + i×sina _s .

Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого унитарного оператора j : Н^п ® Н^п $ ортонормированный базис и пространства Н^п, в котором матрица j имеет вид:

[] = diag(l₁ ,l₂ ,...,l_n), где все l_s = cosa_s + i×sina_s. (22.1)

Верно и обратное утверждение: если [] имеет вид (22.1), то j - унитарный оператор.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой унитарной матрицы А существует унитарная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ имеет вид (22.1).

Очевидно, любая матрица вида (22.1) – унитарная.

Таким образом, любая унитарная матрица унитарно эквивалентна матрице вида (22.1).

Упражнение. Определить, какие матрицы вида (22.1) унитарно эквивалентны друг другу.

Лекция 33.

Изложение в этом пункте соответствует по аналогии изложению в п.20.