Структура самосопряженного оператора.

Лемма.Пусть j : Е^п® Е^п - самосопряженный оператор, Е^пÉ L - j-инвариантное подпространство. Тогда L^{^} - j-инва- риантное подпространство.

Доказательство." хÎ L, y Î L^{^} (j x, y) = 0 = (x,j y) Þ j(L^{^})^ L Þ j(L^{^})Í L^{^} .

ÿ

Пусть j : Е^п ® Е^п - самосопряженный оператор. По теореме из п.16.7 в Е^п $ L₁ - j-инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L₁^{^} - j-инвариантное подпространство, и Е^п = L₁Å L₁^{^}. Так как j на L₁^{^} - самосопряженный оператор, то в L₁^{^} $ L₂ - j-инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L¢ к L₂ в L₁^{^} также j-инвариантно. Далее,

Е^п = L₁ÅL₂ÅL¢, и в L¢ $ L₃ - j-инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Е^п = L₁ÅL₂Å…ÅL_q , где все L_i – подпространства размерности 1 или 2, j-инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и₁, и₂>, где {и₁, и₂} – ортонормированный базис в L, и

j : L ® L - самосопряженный оператор, то [] = , и характеристический многочлен c_j(t)= t²- (a+c)t + ac - b². Его дискриминант (а+с)² – 4(ас - b²) = (а – с)² + b² ³ 0 Þ в L $ собственный вектор, $ одномерное j-инвариантное подпространство Þ L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных j-инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Е^п = L₁ÅL₂Å…ÅL_q можно считать, что все L_i – подпространства размерности 1, попарно ортогональны и j-инвариантны. Значит, n = q, и

Е^п = L₁ÅL₂Å…ÅL_п .

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и j : L® L - самосопряженный оператор, то j е = a е, aÎ R.

В разложении Е^п = L₁ÅL₂Å…ÅL_n выберем в каждом L_i

единичный вектор и_i . Объединение иэтих векторов является ортонормированным базисом в Е^п. В этом базисе матрица самосопряженного оператора j имеет вид:

[] = diag(a₁,a₂,…,a_n). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого самосопряженного оператора

j : Е^п ® Е^п $ ортонормированный базис иевклидова пространства, в котором матрица j имеет вид:

[] = diag(a₁,a₂,…,a_n), где все a_sÎ R. Наоборот, если

[] = diag(a₁,…,a_n), где все a_sÎ R, то j - самосопряженный.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой симметричной матрицы А $ ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ = diag(a₁,a₂,…,a_n), где все a_sÎ R.

Лекция 32.