Упражнения.

Примеры линейных пространств.

Упражнения.

Определения, примеры.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть Р – произвольное поле.

Определение.Множество L называется линейным (или векторным) пространством над полем Р, если

I. на L определены бинарная операция, обозначаемая знаком +, и множество унарных операций умножения на элементы из поля Р, то есть " a, bÎ L определен результат операции

a+bÎL, и "aÎL, aÎP определен результат операции a×aÎL, и

II. для этих операций выполнены 8 свойств:

1. (a + b)+ c = a + (b + c) " a, b, cÎ L.

2. $ элемент 0_LÎ L такой, что a + 0_L= 0_L +a = a "aÎ L.

0_L называется нейтральным элементом по сложению в L (или нейтралом по сложению или нулевым элементом). Когда ясно, о каком нулевом элементе идет речь, мы будем писать 0 без индекса L.

3." aÎ L $ элемент a¢Î L такой, что a¢ + a = a + a¢ = 0_L .

a¢ называется элементом, противо­положным к a и обозначается -a.

4. a + b = b + a " a, b Î L,

5. a (a+b) = a a + a b " a, b Î L " a Î P,

6. (a+b) a = a a+b a, " aÎ L " a, b Î P,

7. (ab) a = a(b a) " aÎ L " a, b Î P,

8. 1_P× a = a " aÎ L.

Элементы линейного пространства называются векторами.

Если рассматривать линейное пространство как универсальную алгебру с множеством операций W, то W = {+,-(.), 0_L ,a×|_aÎP }.

Определение.Подмножество L₁Í L называется подпространством линейного пространства L, если L₁ само является линейным пространством относительно тех же операций W.

1. Доказать, что L₁ - подпространство в L тогда и только тогда, когда в L₁ выполняются свойства I и II.2 из определения линейного пространства, то есть " a, bÎ L₁ a + bÎ L₁; "aÎL₁, aÎP a×aÎL₁ ; 0_LÎ L₁.

2. Доказать, что в любом линейном пространстве L подмножества {0_L} и L являются (тривиальными) подпространствами.

1. Поле Р является линейным пространством над Р.

2. Поле является линейным пространством над любым своим подполем.

3. Множество непрерывных функций C[a,b] на отрезке [a,b] со значениями в поле R является линейным пространством над полем R.

1. Проверить, что эти множества являются линейными пространствами.

2. Доказать, что в линейном пространстве L a× 0_L=0_L "aÎP,

0_P×a = 0_L , (-1)a = - a "aÎL.

Утверждение.Множество L = Р ⁿ ={(a₁,…,a_n)| все a_iÎP} является линейным пространством над полем Р.

Доказательство. I. Пусть по определению для элементов из Р ⁿ (a₁,…,a_n)+ (b₁,…,b _n)= (a₁+b₁,…,a_n+b _n),

a×(a₁,…,a_n)= (a×a₁,…, a×a_n).

II. 1. Из ассоциативности сложения в P следует, что

((a₁,…,a_n)+(b₁,…,b _n))+(g₁,…,g _n)=((a₁+b₁)+g₁,…,(a_n+b _n)+ +g_n)= (a₁+(b₁+g₁),…,a_n+(b _n+g_n)) =(a₁,…,a_n)+((b₁,…,b _n) + +(g₁,…,g _n)).

2. Очевидно, (a₁,…,a_n)+(0,…,0)= (0,…,0) + (a₁,…,a_n) =

= (a₁,…,a_n) "(a₁,…,a_n)Î Р ⁿ. То есть (0,…,0)= - в Р ⁿ существует нейтрал по сложению.

3. Очевидно, (a₁,…,a_n)+ (-a₁,…,-a_n)= (0,…,0), то есть в Р ⁿ

" (a₁,…,a_n) существует противоположный элемент.

Упражнение.Доказатьсвойства 4 – 8 из определения линейного пространства.

Определения.

1. Пусть элементы a₁,…,a_k Î L, a₁,…,a_kÎ Р. Выражение a₁×a₁+…+a_k×a_k называется линейной комбинацией элементов a₁,…,a_k.

2. Говорят, что элементы a₁,…,a_k Î L линейно зависимы, если существуют a₁,…,a_kÎ Р, не все равные нулю, такие, что a₁×a₁+…+a_k×a_k = 0_L. Соответственно, элементы a₁,…,a_k Î L линейно независимы тогда и только тогда, когда из равенства a₁×a₁+…+a_k×a_k = 0_L следует, что все a_i = 0.

3. Говорят, что размерность линейного пространства L равна

п , если в L существуют п линейно независимых векторов, а

любые п+1 векторов линейно зависимы. Размерность линейного пространства L будем обозначать dim L.

4. Говорят, что размерность линейного пространства L бесконечна, если в L "п существуют п линейно независимых векторов.

5. Если dim L = п, то любые п линейно независимых векторов в L будем называть базисом линейного пространства L.

Далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать лишь конечномерные линейные пространства.