Доказательство.

Þ. Пусть $ Î Z_m такой, что =Û (ab)p 1Û ab = 1 + km

Û ab - km = 1, и если d|a, d|m, то d|1.

Ü. Пусть НОД(a,m) = 1. Тогда " , Î Z_m , ¹ , также ¹ . В самом деле, если = , то =Þ (ac)p(ad) Þ m|(ac - ad) Þ m|a(c - d). Но НОД(a,m) = 1Þ

m|(c - d) Þ cp d Þ = - противоречие. Таким образом, все

элементы из ×Z_m различны Þ ×Z_m = Z_m Þ $ Î Z_m

та­кой, что =.

ÿ

Следствие. Z_m – поле Û m – простое число.

Доказательство. Ü. Если m = p – простое число, то

" a Î {1,2, …, p - 1} НОД(a,p)= 1 Þ - обратим, Z_m – поле.

Þ. Пусть Z_m – поле, и m – непростое число, m = kl, где k > 1, l > 1. Тогда НОД(k, m) ¹ 1, и для элемента Î Z_m , ¹ , об­ратный элемент в Z_m не существует - противоречие. Значит, m – простое.

ÿ