Примеры колец.

  1. < Z,+, ×> - АКУ-кольцо целых чисел.
  2. < 2Z,+, ×> - неунитарное АК-кольцо чётных чисел.
  3. < nZ,+, ×> - неунитарное АК-кольцо чисел, кратных n,

где nÎZ, n ¹ ±1.

  1. R[x] - АКУ-кольцо многочленов с действительными

коэффициентами.

  1. С[a,b] - АКУ-кольцо функций, непрерывных на

от­резке [a,b].

  1. <0K,+,×> - тривиальное АКУ-кольцо, в котором 1K= 0K.
  2. Пусть K1 и K2 – кольца. Рассмотрим множество

K1´K2 = {(a,b)| aÎ K1, bÎ K2}. Пусть по определению

(a1,b1)+ (a2,b2) = (a1+a2, b1+b2), (a1,b1)(a2,b2) = (a1a2, b1b2). Тогда K1´K2 – кольцо, причем, если K1, K2 - АКУ-кольца, то K1´K2 – АКУ-кольцо.

Упражнение. Проверить, что универсальные алгебры в

примерах 1 – 7 являются кольцами.

6.2. Простейшие свойства колец.

1. " a Î K a×0 = 0× a = 0.

Доказательство. 0 + 0 = 0 Þ a×(0 + 0) = a×0 Þ

a×0 + a×0= a×0 Þ -(a×0)+ (a×0 + a×0)= -(a×0)+ a×0Þ

(-(a×0)+ a×0) + a×0= 0 Þ 0 + a×0 = 0 Þ a×0 = 0.

Аналогично, 0× a = 0.

2. Если 1 = 0, то K = {0} – тривиальное кольцо.

Доказательство. " a Î K a = 1× a = 0× a = 0.

  1. Общий закон дистрибутивности: " m ³ 1, n ³ 1

()×()=.

Доказательство индукцией по s = m + n.

При m = n = 1 утверждение очевидно: a1b1 = a1b1.

Пусть m ³ 2 или n ³ 2 и пусть для s = m + n – 1 утвержде­ние верно. Тогда ()×()=(+am)×(+bn)=

=()×(+bn)+am(+bn)=()()+()bn +

+ am×()+ am× bn = .

  1. Правило знаков. " a, b Î K (- a)b = a(- b) = - (ab).

Доказательство. 0=a(b+( – b))=ab+ a(- b) Þ a(- b)=- (ab).

Аналогично, (- a)b = - (ab).