Визначений інтеграл та його властивості
Рис. 8
Розглянемо неперервну функцію , невід’ємну на відрізку . Розіб’ємо відрізок на рівних частин , довжина кожної частини дорівнює . Утворимо суму добутків , де , яка називається інтегральною сумою: . Знайдемо . Границя інтегральної суми при умові, що кількість відрізків , називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають .
Якщо - первісна для функції на відрізку , то
Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца і є правильною для будь-якої неперервної на відрізку функції ; вона пов’язує поняття інтеграла і первісної та є правилом обчислення інтегралів.
Основні властивості визначеного інтегралу:
1.
2.
3.
4.
5.Якщо , то
152.Обчисліть інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) ;
33) ; 34) .
153.Обчисліть інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) ;
33) ; 34) ;
35) ; 36) ;
37) ; 38) ;
39) ; 40) ;
41) ; 42) .
154.Обчисліть інтеграли методом заміни змінної:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) .
155.Обчисліть інтеграл , якщо
156.З’ясуйте, при яких значеннях виконується нерівність:
1) ; 2) .
до змісту