Решение СЛУ по Крамеру.
Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными:
(5.1)
Домножим левые и правые части уравнений на алгебраические дополнения Аik основной матрицы А системы (5.1):
1-е уравнение домножим на А1k, второе – на А2k, и т.д., п-е – на Апk. Затем домноженные уравнения сложим. У полученного уравнения коэффициент при хk будет равен 
= |A|. А коэффициент при хs , s ¹ k, равен 
- это определитель, у которого k-й столбец в матрице А заменен на s-й столбец, то есть это определитель с двумя одинаковыми столбцами – k-м и s-м, и, значит, этот определитель равен нулю. Таким образом, коэффициенты при всех хs , s ¹ k, равны нулю. А правая часть полученного уравнения имеет вид 
- это определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на столбец из правых частей системы (5.1). Этот определитель мы будем обозначать Dk =. Следовательно, после сложения домноженных уравнений мы получим уравнение вида |A|× хk= Dk . Это уравнение – следствие системы (5.1).
Если |A|= 0 и $ Dk ¹ 0, то уравнение |A|× хk= Dk не имеет решений, и, следовательно, система (5.1) несовместна.
Если |A| ¹ 0, то из решения по Гауссу система (5.1) - совместная и определенная, и её решения являются решениями уравнений |A|× хk= Dk , которые имеют единственное решение хk = Dk / |A|. Следовательно, набор хk = Dk / |A|, k = 1,…,п, является единственным решением системы (5.1). Это решение и называется решением по Крамеру.
Если |A|= 0 и все Dk= 0, то по Крамеру систему решать нельзя. Можно решать её, например, по Гауссу. В этом случае система (5.1) либо имеет больше одного решения, либо несовместна.
Упражнение. Привести примеры систем с |A|= 0, которые имеют более одного решения, и систем, которые несовместны.
Лекция 10.