ІІ етап. Аналіз множини розв’язків СЛР.

Якщо остання матриця І етапу містить нульовий рядок, якому відповідає ненульовий вільний член, то СЛР – несумісна, оскільки такий рядок відповідає рівнянню . В протилежному випадку СЛР – сумісна.

Для сумісної СЛР: якщо вона містить вільні змінні, то система невизначена, інакше система визначена.

ІІІ етап. Зворотній хід методу(виконується лише для сумісних СЛР).

1. За останньою матрицею перетворень І етапу виписується відповідна СЛР (еквівалентна початковій за теоремою).

2. Надаючи вільним змінним (якщо такі є) довільних значень, їх переносять у праву частину кожного рівняння (матриця з базисних змінних стає верхньотрикутною, отже невиродженою).

3. Починаючи з останнього рівняння, знаходять відповідні значення базисних змінних.

4. Виписується розв’язок СЛР (у вигляді вектора).

Приклад 6.Розв’язати СЛР методом Гауса в залежності від параметра.

Випишемо розширену матрицю системи:

.

І етап складається з семи кроків, на кожному кроці ведучі елементи виділені у відповідній матриці.

.

3-й крок: у третьому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (третього) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

4-й крок: у четвертому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з третього місця (попередня змінна вільна).

.

5-й крок: у п’ятому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (четвертого) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

6-й крок: у шостому стовпчику шукаємо ведучий, починаючи з четвертого місця (попередня змінна вільна).

.

7-й крок: у сьомому стовпчику останньої матриці, починаючи з відповідного місця (п’ятого) немає ненульового елементу, отже – вільна змінна.

І етап завершено, ненульові елементи матриці утворюють сходинки, матриця має східчастий вигляд.

ІІ етап.Виникає два можливих випадки.

1. Якщо , то СЛР несумісна. Розв’язання закінчено.

2. Якщо p=5, то СЛР сумісна та невизначена, оскільки є три вільні змінні. В цьому випадку з останньої матриці перетворень І етапу можна виключити останній рядок, оскільки він відповідає числовій тотожності 0=0. Тоді матриця набуває вигляду:

ІІІ етап(для p=5).

1. СЛР, що відповідає останній матриці, має вигляд:

.

2. Надамо вільним змінним значень , , , , та перенесемо їх у праву частину кожного рівняння:

(матриця з базисних змінних – верхньотрикутна).

3. Знайдемо значення базисних змінних, починаючи з останнього рівняння: .

4. Розв’язок СЛР , .

Відповідь матиме вигляд: 1) якщо , то СЛР несумісна;

2) якщо p=5, то СЛР сумісна та невизначена, будь-який її розв’язок задається вектором , .