Метод Крамера

Теорема. Квадратна невироджена СЛР сумісна та визначена, єдиний її розв’язок можна отримати за формулами (формули Крамера)

(2.4)

де , – визначник, отриманий з матриці системи А заміною j-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Приклад 4. Розв’язати методом Крамера наступну СЛР:

Матриця даної системи має вигляд , стовпчик вільних членів . Обчислимо , , , .

Отже, за формулами (2.4), єдиний розв’язок системи має вигляд:

, , .

Відповідь можемо записати у вигляді .

2.4. Розв'язок системи лінійних рівнянь за допомогою метода послідовного виключення змінних. (Метод Гаусса)

Дві СЛР називаються еквівалентними, якщо мають однакову множину розв’язків.

Рівняння СЛР називається несуттєвим, якщо виключаючи його, система переходить в еквівалентну, та суттєвим у протилежному випадку. Змінна, що може набувати у розв’язку системи довільних значень, називається вільною. Якщо у розв’язку системи змінна набуває значень в залежності від фіксованих значень вільних змінних, то вона називається базисною.

Зауваження. Набір вільних та базисних змінних СЛР в деяких випадках можна вибирати по-різному, але кількість змінних у кожному такому наборі при цьому не змінюється.

Приклад 5. Проілюструємо введені поняття на прикладі системи

.

Очевидно, друге рівняння системи можна вважати несуттєвим. Отже, вона еквівалентна лише першому рівнянню (аналогічно можна було б відкинути перше рівняння, залишаючи друге).

. У цьому випадку – вільна, а – базисна. Або . У цьому випадку – вільна, а – базисна.

Елементарними перетвореннями над рівняннями системи лінійних рівнянь називаються

1) перестановки місцями двох її рівнянь;

2) множення рівняння системи на ненульове число;

3) додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на довільне число;

4) виключення із системи числових тотожностей.

Зауваження.Очевидно, елементарні перетворення над рівняннями системи відповідають елементарним перетворенням над відповідними рядками її розширеної матриці. Отже надалі ми будемо перетворювати саме рядки розширеної матриці.