Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Диференціальне рівняння порядку називається лінійним, якщо невідома функція та її похідні входять в це рівняння в першій степені, тобто це рівняння вигляду

, (13.37)

де - відомі функції, .

Надалі будемо вважати, що функції неперервні на та . Якщо , то лінійне рівняння називається неоднорідним, а якщо , то – однорідним.

Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння

. (13.38)

Частинні розв’язки рівняння (13.38), називаються лінійно незалежними на відрізку , якщо вони не пов’язані ніякою тотожністю , де - деякі сталі, що не дорівнюють нулю одночасно.

Сукупність розв’язків рівняння (13.38), визначених і лінійно незалежних на , називається фундаментальною системою розв’язків.

Теорема 1. Якщо - фундаментальна система розв’язків рівняння (13.38), то

, (13.39)

де - довільні сталі, є його загальним розв’язком.

Визначником Вронського (вронскіаном) системи функцій називається визначник

(13.40)

Якщо - фундаментальна система розв’язків рівняння (13.38) на , які є неперервними та мають -шу неперервну похідну на цьому відрізку, то вронскіан цих функцій не дорівнює нулю в жодній точці (ця умова є необхідною і достатньою).

Для визначника Вронського має місце формула Ліувіля-Остроградського:

.

Структура загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку визначається наступною теоремою.

Теорема 2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку дорівнює сумі будь-якого його частинного розв’язку та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.

Для знаходження загального розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння порядку застосовують метод варіації довільних сталих, тобто шукають цей розв’язок у вигляді , де невідомі функції визначаються із системи рівнянь: