Рівняння вигляду , яке є однорідним відносно .

Рівняння вигляду , що не містить незалежної змінної.

Такі рівняння допускають пониження порядку на одиницю, якщо покласти , де - нова залежна змінна. Дійсно, тоді

; ,

і так далі, а задане рівняння зводиться до диференціального рівняння порядку .

Рівняння даного типу допускають пониження порядку на одиницю при заміні невідомої функції на нову функцію .

Приклад 15.Розв’язати задачу Коші .

Запропоноване рівняння розв’язується шляхом двократного інтегрування.

Якщо , то маємо:

;

.

Отже, загальний розв’язок рівняння задається співвідношенням

.

Скористуємось початковими умовами для знаходження розв’язку задачі Коші: , звідки та .

Якщо , то задане рівняння набуває вигляду , звідки маємо . Враховуючи початкові умови , одержимо .

Приклад 16.Розв’язати диференціальне рівняння .

Рівняння не містить шуканої функції , тому введемо нову функцію , після чого рівняння перетвориться у наступне або .

Одержане рівняння є однорідним першого порядку. Покладаючи , матимемо рівняння або .

Інтегруючи останнє рівняння, знаходимо

; ; .

Повертаючись до змінної одержимо диференціальне рівняння першого порядку , звідки

.

Приклад 17.Розв’язати диференціальне рівняння .

Рівняння не містить незалежної змінної , тому зробимо заміну , де - нова залежна змінна, після чого рівняння перетвориться у наступне або , звідки

; ; .

Враховуючи , маємо:

; ; .

Приклад 18.Розв’язати диференціальне рівняння .

Рівняння є однорідним відносно , тому поділимо його на , та одержимо рівняння у вигляді .

Зробимо заміну невідомої функції: ; або , тоді матимемо:

; ; ;

; ; ;

; .

Зауважимо, що є частинним розв’язком рівняння.