Рівняння вигляду , яке є однорідним відносно .
Рівняння вигляду , що не містить незалежної змінної.
Такі рівняння допускають пониження порядку на одиницю, якщо покласти , де - нова залежна змінна. Дійсно, тоді
; ,
і так далі, а задане рівняння зводиться до диференціального рівняння порядку .
Рівняння даного типу допускають пониження порядку на одиницю при заміні невідомої функції на нову функцію .
Приклад 15.Розв’язати задачу Коші .
Запропоноване рівняння розв’язується шляхом двократного інтегрування.
Якщо , то маємо:
;
.
Отже, загальний розв’язок рівняння задається співвідношенням
.
Скористуємось початковими умовами для знаходження розв’язку задачі Коші: , звідки та .
Якщо , то задане рівняння набуває вигляду , звідки маємо . Враховуючи початкові умови , одержимо .
Приклад 16.Розв’язати диференціальне рівняння .
Рівняння не містить шуканої функції , тому введемо нову функцію , після чого рівняння перетвориться у наступне або .
Одержане рівняння є однорідним першого порядку. Покладаючи , матимемо рівняння або .
Інтегруючи останнє рівняння, знаходимо
; ; .
Повертаючись до змінної одержимо диференціальне рівняння першого порядку , звідки
.
Приклад 17.Розв’язати диференціальне рівняння .
Рівняння не містить незалежної змінної , тому зробимо заміну , де - нова залежна змінна, після чого рівняння перетвориться у наступне або , звідки
; ; .
Враховуючи , маємо:
; ; .
Приклад 18.Розв’язати диференціальне рівняння .
Рівняння є однорідним відносно , тому поділимо його на , та одержимо рівняння у вигляді .
Зробимо заміну невідомої функції: ; або , тоді матимемо:
; ; ;
; ; ;
; .
Зауважимо, що є частинним розв’язком рівняння.