Геометрична інтерпретація СЛР двох рівнянь з двома невідомими

Розглянемо СЛР

(2.3)

Очевидно, розширена матриця цієї СЛР має вигляд . Позначимо визначники квадратних підматриць другого порядку матриці наступним чином: , , .

Геометричним образом кожного рівняння системи (2.3), очевидно, є прямі на площині x₁Ox₂, які ми позначимо l₁ та l₂; розв’язок системи (2.3) можна інтерпретувати як спільну точку цих прямих. Розглянемо всі можливі випадки для СЛР (2.3):

1) СЛР (2.3) – несумісна

;

2) СЛР (2.3) – сумісна та визначена

та співпадає з кількістю невідомих;

3) СЛР (2.3) – сумісна та невизначена

та менший за кількість невідомих.

Ланцюги цих еквівалентностей показують зв’язок між системами лінійних рівнянь, їх геометричними образами, визначниками та рангами відповідних матриць.

Якщо СЛР містить три невідомі, то геометричним образом кожного рівняння буде площина у просторі (система з прикладу 1 задає перетин двох непаралельних площин який утворює пряму у просторі, тобто система сумісна та визначена), взаємне розташування яких, у загальному випадку, важко проаналізувати геометрично. З іншого боку, проаналізувати множину розв’язків таких систем можна на мові рангів відповідних матриць. Більш того, зв’язок між рангами матриць А, та множиною розв’язків СЛР, подібний наведеному в цих еквівалентностях, буде мати місце і для СЛР довільної розмірності, де геометрична інтерпретація стає неможливою.