Інтегрування раціональних дробів

Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

де a, b – дійсні числа.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник ступеня чисельника менше відповідного ступеня знаменника (n<m); у противному випадку () дріб називається неправильним. Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник і одержати заданий дріб у вигляді

Найпростішими (елементарними) дробами називаються правильні дроби такого виду:

I.

II. де k – ціле число, більше одиниці;

III. де <0, тобто квадратний тричлен не має дійсних коренів;

IV. де l – ціле число, більше одиниці, і квадратний тричлен не має дійсних коренів.

У всіх чотирьох випадках передбачається, що А, В, D, E, G, F, р, q, r, s, a, b – дійсні числа. Перераховані дроби будемо відповідно називати найпростішими дробами I, II, III й IV типів.

Розглянемо інтеграли від найпростіших дробів перших трьох типів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів першого та другого типів знаходять методом безпосереднього інтегрування. Маємо

I.

II.

При інтегруванні найпростішого дробу третього типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

III.

Позначимо (тут <0), звідки

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що або одержимо:

Інтеграл від дробу IV типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від дробу ІІІ типу.

Приклади 5. Знайти інтеграли

1)

2)

3)

4)

5)

Попередньо в цьому інтегралі зробимо заміну змінної тоді Отже,

6)

Маємо

У першому інтегралі зробимо заміну а в другому інтегралі покладемо Звідси

Повертаючись до минулої змінної, одержуємо

Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.

Приклади 6. Знайти інтеграли

1)

Оскільки кожний з двочленів х-1, х-2, х-4 входить до знаменника у першому ступені, тоді даний правильний раціональний дріб може бути представлений у вигляді суми найпростіших дробів I типу:

Звільняючись від знаменників, одержимо

Отже,

Згрупуємо члени з однаковими ступенями:

Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, одержуємо систему рівнянь

з якої знайдемо А=3, В=-7, З=5.

Отже, розкладання раціонального дробу на найпростіші має вигляд

Невідомі А, В, С у розкладанні можна було визначити й інакше. Після звільнення від знаменника можна надати х стільки часткових значень, скільки є в системі невідомих, у даному випадку – три часткових значення.

Особливо зручно надати х значення, що є дійсними коренями знаменника. Застосуємо цей прийом до розв’язання даної задачі. Після звільнення від знаменника ми одержали рівність (*). Дійсними коренями знаменника є числа 1, 2, і 4. Покладемо в цій рівності х=1, тоді

звідки 9=3А, тобто А=3. Вважаючи х=2, одержуємо 14=-2В, тобто В=-7; вважаючи х=4, маємо 30=6С, тобто С=5. У результаті вийшли ті ж значення, що й при першому способі визначення невідомих.

Таким чином,

2)

Множнику відповідає сума трьох найпростіших дробів а множнику х+3 – найпростіший дріб Отже,

Звільнимося від знаменника:

Дійсними коренями знаменника є числа 1 та -3. Вважаючи х=1, одержуємо 2=4А, тобто А=1/2. При х=-3 маємо 10=-64D, тобто D =-5/32.

Порівняємо коефіцієнти при старшому ступені х, тобто при х³. У лівій частині немає члена з х³, тобто коефіцієнт при х³ дорівнює 0. У правій частині коефіцієнт при х³ дорівнює C+D. Отже, C+D=0, звідки С=5/32.

Залишається визначити коефіцієнт В. Для цього необхідно мати ще одне рівняння. Це рівняння можна одержати шляхом порівняння коефіцієнтів при однакових ступенях х (наприклад, при х²) або надавши х яке-небудь числове значення. Зручніше взяти таке значення, при якому обчислень буде якомога менше. Покладемо, наприклад, х=0, одержуємо

або тобто

Остаточне розкладання даного дробу на найпростіші має вигляд

Таким чином, одержимо

3)

Розкладемо знаменник на множники:

Тоді

Звільняємося від знаменника:

Дійсними коренями знаменника є числа 0 та 1. При х = 0 маємо 1=-А. тобто А=-1; при х = 1 маємо 1=3С, тобто С=1/3.

Перепишемо попередню рівність у вигляді

Порівнюючи коефіцієнти при х⁴, х³, х², одержуємо систему рівнянь

з якої знайдемо Отже,

Таким чином,

4)

Оскільки х²+1 є двократним множником, то

Звільняючись від знаменників, одержимо

Прирівняємо коефіцієнти при однакових ступенях х:

Отже,

Помітимо, що даний інтеграл можна було знайти простіше за допомогою підстановки

5)

Виділимо цілу частину даного неправильного раціонального дробу:

_ х³+3х²+5х+7 | х²+2 .

х³+2х

_3х²+3х+7

3х² +6

3х+1

Отже,

Звідси знаходимо

6)

Оскільки що підінтегральна функція є правильним дробом, то її слід одразу представити у вигляді суми найпростіших дробів. Легко бачити, що многочлен перетворюється на нуль при тому він ділиться без остачі на х +1. Виконаємо ділення:

_ х³+6х²+11х+6 | х+1 .

х³+х² х²+5х+6

_ 5х²+11х

5х² +5х .

_ 6х+6

6х+6

Отже,

Звільняючись від знаменників, одержимо

Покладаючи знайдемо 3=2А, тобто А=3/2. Якщо то одержимо тобто При одержимо тобто

Таким чином,

7)

Насамперед виділимо цілу частину:

_ х⁵+1 | х⁴-8х²+16 .

х⁵­ - 8х³ +16х 8х³-16х+1

8х³-16х +1 х+ х⁴-8х²+16

Отже,

Розкладемо правильний дріб на найпростіші:

Звільнимося від знаменників:

Вважаючи х=2, знайдемо 33=16А, тобто А=33/16; При одержимо тобто . Якщо х=0, тоді Замінивши А і С їхніми значеннями, одержуємо

або

Для того, щоб знайти В і D, складаємо ще одне рівняння. Зрівнявши коефіцієнти при х³, одержимо 8=В+D. Вирішивши систему рівнянь

знаходимо

Отже,

8)

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом і можна було б знайти інтеграл, представивши цей дріб у вигляді суми найпростіших дробів. Однак знаходження інтеграла можна значно спростити, якщо зробити заміну змінної тоді й У результаті одержуємо

9)

Перетворимо знаменник: Маємо

Зробимо заміну тоді й