Матрицы и действия над ними

Элементы линейной алгебры.

Линейная алгебра – это раздел алгебры, изучающий линейные преобразования в конечномерных линейных пространствах.

Возникновение линейной алгебры связано с решением и исследованием систем линейных уравнений.

Основными разделами являются: теория матриц и теория квадратичных форм.

Многие теоремы линейной алгебры используют при доказательстве фундаментальных теорем математического анализа и дифференциальных уравнений.

Она широко применяется в курсе линейного программирования.

Определение: матрицей называется прямоугольная таблица состоящая из элементов различной природы ( числа , переменные) и содержащая m строк и n столбцов.

Матрица обозначается большой буквой латинского алфавита, а элементы матрицы малыми буквами с индексами , где -номер строки, - номер столбца.

Пример:

(1.1)

Элементы матрицы заключаются в круглые скобки. Матрице (1.1) соответствует определитель

– размерность матрицы,

– матрица называется квадратная,

– матрица прямоугольная,

– матрица строка,

– матрица столбец

Если в матрице (1.1) поменять местами строки и столбцы, то получим транспонированную матрицу :

(1.2)

Процесс перехода матрицы в транспонированную называется транспонирование.

Пример:

Рассмотрим матрицу (1.1) когда

образует главную диагональ.

Остальные элементы находятся на побочных диагоналях.

Нулевая матрица это матрица все элементы которой равны нулю

Диагональная (квадратная) матрица- все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Скалярная матрица (квадратная) –это диагональная матрица все элементы главной диагонали равны друг другу

Верхняя треугольная матрица- квадратичная матрица все элементы ниже главной диагонали равны нулю

Нижняя треугольная матрица- квадратичная матрица все элементы ниже главной диагонали равны нулю

Симметричная матрица это квадратная матрица в которой все элементы расположены симметрично относительно главной диагонали равны между собой

Две матрицы называются равными тогда и толь тогда когда их соответствующие элементы равны

Матрица А называется не вырожденной (не особой) если соответствующий ей определитель не равен нулю, ели соответствующий определитель равен нулю то матрица называется вырожденной (особой).

Суммой двух матриц называется матрица определяемая равенством

Разность двух матриц

Для того чтобы число умножить на матрицу достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число

Для того чтобы матрицу умножить на матрицу элементы которой равны сумме произведений элементов строки матрицы A на соответствующий элемент столбца матрицы B.

(1.3)

Матрица А согласована с матрицей В если число элементов в строках матрицы А = числу элементов в столбцах матрицы В .

Замечание: перемножать можно толь согласованные матрицы.

Свойства:

Задача:

Подрядчик (строитель) заключил договор на строительство трех жилых домов 5 детских садов 9 домов отдыха. Материалы для строителе сталь, лес, стекло, краска. Количество сырья а так же рабочей силы выражается в не которых условных обозначениях.

Таблица