Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Определение 3. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

. (3)

Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. умножается на некоторое число.

Равенство (3) можно записать в матричной форме:

(4)

или

. (5)

Система (5) всегда имеет нулевое решение . Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (5) был равен нулю:

. (6)

Следовательно, собственный вектор является ненулевым решением системы (6), а собственные значения определяются из условия равенства нулю определителя этой системы:

(7)

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением. Определитель является многочленом -ой степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Собственные значения могут оказаться вещественными различными, вещественными кратными и среди собственных значений могут быть комплексные числа.

Свойства собственных векторов:

1) Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

2) Если собственные векторы матрицы образуют базис, то в этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид, причем ее диагональными элементами являются собственные числа:

Верно и обратное: если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора .

Для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора нужно найти все различные корни характеристического уравнения (7)

и для каждого такого корня найти линейно независимые решения системы уравнений (5) совокупность которых образует линейно независимую систему собственных векторов.

Каждому собственному значению соответствует хотя бы один собственный вектор, так как система, определитель которой равен нулю, имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Решение: Составим характеристическое уравнение или , откуда собственные значения линейного оператора : и .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению , используя формулу (5):

или ,

откуда получаем систему:

Из системы имеем . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично находится собственный вектор , соответствующий собственному значению :

Отсюда имеем . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .