Линейные операторы.
Лекция 8
Вычисляются коэффициенты автокорреляции, автокавариации и частичной автокорреляции.
Уменьшается время получения значений стохастического ряда сравнительно с имитационным моделированием в 10-100 раз (в зависимости от вида процесса).
Методика реализуется так:
1.Строится приближенная модель ряда желаемой размерности.
3. Осуществляется итерактивный процесс за методом наименьших квадратов.
4. Находится остаточная сумма квадратов разниц между приданными значениями ряда и значениями, что получены с помощью построенной модели.
5. Уточняются коэффициенты модели.
6. Если точность не достигнута, то опять выполняются пункты 1 и 2.
7. Находится необходимое количество прогнозов, которые возможно использовать как последующие значения стохастического ряда.
Автор(и): Фамилия, имя, отчество
Тема: “ Линейные операторы ”
Определение 1. Если задан закон (правило). По которому каждому вектору пространства
ставится в соответствие единственный вектор
пространства
, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение)
, действующий из
в
, и записывают
. При этом вектор
называют образом вектора
, а сам вектор
- прообразом вектора
.
Определение 2. Оператор называется линейным, если для любых векторов
и
пространства
и любого числа
выполняются соотношения:
1) - свойство аддитивности оператора;
2) - свойство однородности оператора.
Если пространства и
совпадают, то оператор
отображает пространство
в себя. Далее будем рассматривать такие операторы.
Выберем в пространстве базис
. Запишем разложение произвольного вектора
по данному базису:
.
В силу линейности оператора получаем
.
Так как (
) также вектор из
, то его можно разложить по базису
. Пусть
(
).
Таким образом,
.
С другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе
координаты
, можно записать так:
.
В силу единственности разложения вектора по базису, имеем
Матрица (
) называется матрицей оператора
в базисе
, а ранг матрицы
- рангом оператора
.
Таким образом, имеем теорему.
Теорема 1. Каждому линейному оператору -мерного пространства соответствует матрица
-го порядка, и наоборот: всякой матрице
-го порядка соответствует линейный оператор
-мерного пространства.
Связь между вектором и его образом
можно выразить в матричной форме уравнением:
, (1)
где - матрица линейного оператора,
и
- матрицы-столбцы из координат векторов
и
.
Пример 1. Пусть в пространстве линейный оператор
в базисе
задан матрицей
. Найти образ
вектора
.
Решение: По формуле (1)
.
Следовательно, .
Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.
Теорема 2. Матрицы и
линейного оператора
в базисах
и
связаны соотношением
, (2)
где - матрица перехода от старого базиса к новому.
Пример 2. Матрица линейного оператора
задана в базисе
:
. Найти ее в базисе
,
,
.
Решение: По формуле (2) найдем матрицу перехода от старого к новому базису: .
Найдем .
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Следовательно, .
По формуле (2) найдем
.