Метод интегрирования по частям
Лекция № 4, ВА-1, матан, 2 семестр
Тема. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Типы интегралов, берущихся по частям.
Выведем формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Докажем утверждение.
Теорема 1.1. Если функции 
и 
– непрерывно дифференцируемые функции переменной x, то справедливо тождество:
Доказательство. Найдем дифференциал произведения двух функций 
но 
поэтому последнее равенство можно представить в виде:
.
Это уравнение разрешим относительно члена 
.
Проинтегрируем последнего равенство, получим:
.
В соответствии со свойством 30 неопределенных интегралов произведем замену первого слагаемого правой части по формуле: 
и окончательно будем иметь:
(1.1)
Что и требовалось доказать. Формула (1.1) – формула интегрирования по частям.
Проиллюстрируем применение полученной формулы для вычисления интеграла.
Задача 1.1. 
.
Решение. Применим формулу (1.1).
.
Формула (1.1) носит называние формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования, основанный на применении этой формулы, называется методом интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
При использовании этого метода фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя (две «части») u и 
, причем обязательно содержит 
. При переходе к правой части формулы (1.1) первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала: 
), второй интегрируется 
. Заметим, что постоянную 
, возникающую при нахождении v, можно считать равной нулю: , так как в качестве v можно брать любую из первообразных подынтегральной функции.
Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда нахождение функции v по её дифференциалу и нахождение 
представляют в совокупности более простую задачу, чем нахождение исходного интеграла 
.