Оценка параметров закона распределения

ЭКПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ

Наиболее полной характеристикой надежности объекта является функция распределения вероятностей времени безотказной работы, то есть закон распределения. В настоящее время в результате многочисленных экспериментальных и теоретических исследований области применения большинства законов распределения, в основном, известны. Поэтому мы не будем, ввиду большой сложности материала, рассматривать строгие методы определения законов распределения. В этом нет необходимости еще и потому, что о виде распределения можно судить по эмпирической функции распределения и гистограмме (см. п. 6.2).

Например, известно, что в период нормальной эксплуатации закон распределения вероятностей времени безотказной работы показательный с λ = const.

Таким образом, неизвестной величиной является только значение λ, которое требуется определить по результатам эксплуатации.

Для оценки неизвестных параметров законов распределения разработано несколько методов, но наиболее широко и эффективно используется метод наибольшего правдоподобия, предложенный английским статистиком Р. Фишером в 1912 году. Рассмотрим его применение для определения интенсивности отказов λ.

Допустим, что в процессе эксплуатации находилось n одинаковых объектов (систем, подсистем, агрегатов, элементов). Наработка каждого объекта до его отказа имеет значение:

t₁, t₂, …., t_n, . (7.7)

Вероятность каждого из этих значений в малом интервале времени (t_i + ∆t) равняется f(t_i)∆t_i, где f(t_i)-дифференциальная функция распределения вероятности (плотность вероятности) наработки i-гo объекта до отказа.

При условии независимости отказов вероятность совместного появления всех значений (7.7) равняется произведению вероятностей, то есть

P=f(t₁), f(t₂)…f(t_n)∆t₁∆t₂…∆t_n. (7.8)

Наиболее вероятным будет такое значение интенсивности отказов λ, при котором максимально значение вероятности р. Рассмотрим вспомогательную функцию

(7.9)

которая достигает максимума при том же значении λ, что и вероятность р. При показательном законе распределения вероятности наработки до отказа плотность вероятности

f(t)=λe^-λt (7.10)

Тогда

(7.11)

Для определения интенсивности отказов λ надо взять частную производную выражения (7.11) по λ и приравнять ее к нулю:

(7.12)

(Если воспользоваться данными примера, приведенного в п. 6.2, то применение формулы (7.12) даст результат: λ^* = 30/17015 = 7,6 • 10^-3/ч;.).

Аналогично определяются параметры закона нормального распределения вероятностей наработки до отказа (при износовых отказах, третий этап эксплуатации):

(7.13)