Простейшие свойства полей
Каждое поле является коммутативным кольцом. Поэтому все свойства коммутативных колец присущи и любому полю; все утверждения доказанные для коммутативных колец, справедливы также и для всякого поля.
Рассмотрим простейшие свойства полей, вытекающие из выполнимости операции деления. Из определения поля и свойств его групп вытекают следующие свойства.
Теорема. В каждом поле существует, и притом только одна, единица.
Доказательство. По определению поля, в поле существует, по крайней мере один, отличный от нуля элемент
. Так как в поле
выполнима операция деления, кроме деления на нуль, то в нем существует частное
.
Обозначим его символом .
Тогда .
Пусть – произвольный элемент поля
. Покажем, что
. Если
, то это означает, что в поле
существует такой элемент
, что
.
Следовательно, , т.е.
, и поэтому
– единичный элемент поля
. Единичный элемент
. В соответствии с теоремой о единичном элементе группы – он единственен.
Теорема. В каждом поле деление на любой ненулевой элемент возможно и притом единственным способом.
Доказательство. Пусть , причем
, а
, тогда
Произведение
записывается в виде дроби
и является единственным решением уравнения
– частное от деления
на
.
Теорема. В каждом поле для любого его элемента
, отличного от нуля, существует, и притом только один, обратный элемент
.
Доказательство. Действительно, в любом поле существует частное
элементов
и
. Обозначим это частное символом
. Тогда
.
Теорема. Любое поле не содержит делителей нуля:
.
Доказательство. Пусть и
. Тогда если
и, следовательно,
. С другой стороны, если
.
Замечание. Из этой теоремы следует, что произведение отличных от нуля элементов и
поля
также отлично от нуля. Следовательно, операция умножения элементов поля
определена также и на множестве
отличных от нуля элементов этого поля.
Теорема. В каждом поле множество отличных от нуля элементов
является абелевой группой относительно умножения –
.
Доказательство. Действительно, на множестве определена операция умножения, а так как
, то эта операция ассоциативна и коммутативна. Так как
, а
. Поэтому единичный элемент
. Если
, т.е. если
, то
, поскольку
, а
и, следовательно,
.
Определение. Мультипликативную группу , состоящую из всех отличных от нуля элементов
поля
, называется мультипликативной группой поля
.
Так как отличные от нуля элементы поля
образуют мультипликативную абелеву группу поля
, то все свойства мультипликативной группы
присущи полю
. В частности, в каждом поле можно выполнять сокращение на множитель, отличный от нуля: если
.
В любом поле сохраняются обычные правила действия над степенями элементов с целыми показателями:
Теорема. В любом поле для любых
частные (дроби) подчиняются следующим правилам:
1. тогда и только тогда, когда
;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
Это обычные «школьные» правила, но они строго выводятся из аксиом поля.
Доказательство. Докажем первое равенство. Пусть и
, тогда в поле
существуют обратные элементы
и
такие, что если
Этим доказана необходимость условия.
Докажем достаточность этого условия. Предположим, что . Умножив обе части этого равенства на
, имеем
Докажем второе равенство:
Докажем третье равенство:
Действительно:
Докажем четвертое равенство:
Действительно:
Докажем пятое равенство. Действительно,
Докажем шестое равенство. Действительно,
Рассмотренные свойства полей позволяют сделать вывод о том, что в любом числовом поле верны все утверждения и формулы элементарной алгебры, базирующиеся на правилах действия над степенями с целыми показателями и над частными (дробями).
Рассмотрим пример не числового поля – поля классов вычетов по модулю
.
Теорема. Кольцо классов вычетов является полем тогда и только тогда, когда
– простое число.
Теорема будет доказана если мы покажем, что при выполняются следующие условия:
1. Множество классов вычетов – – не содержит делителей нуля;
2. .
Доказательство.Пусть – не простое число. Это означает, что
можно представить в виде
, тогда
. Это означает, что
и
являются делителями нуля в
.
Пусть – простое число, тогда, множество классов вычетов принимает вид:
(4.2)
Обозначим все элементы множества отличные от нуля
:
(4.3)
Эти элементы образуют конечную мультипликативную группу: операция умножения на множестве ассоциативна и существует единичный элемент, равный
. Обозначим эту группу
.
Рассмотрим отображение конечной мультипликативной группы саму на себя, которое определим
,
где произвольный, но фиксированный элемент из
.
Применяя отображение к множеству
из (4.3) получаем множество
(4.4)
Все элементы множества (4.4) отличны от нуля и все различны: при
Предложим обратное. Если , это возможно только при
.
Это означает, что последовательность (4.4) совпадает с переставленной некоторым образом последовательностью (4.3), а это означает, что в последовательности (4.4) . Это означает, что
является обратным к
а т.к.
– произвольный элемент из
, то это и доказывает теорему.
Следствие 1. (малая теорема Ферма).Для любого целого не делящегося на простое
имеет место сравнение
. (4.5)
Доказательство. 1. Мультипликативная группа имеет порядок
.
По теореме Лагранжа порядок этой группы делится на порядок любого элемента из группы
.
2. Из следствия т. Лагранжа следует, что группа простого порядка всегда циклическая, а порядок любого элемента циклической группы совпадает с порядком группы.
Следовательно, любой элемент группы
в степени
будет равен единичному элементу т.е.
.
С другой стороны если
не делится на
, то его можно представить в виде
, где
т.е.
совпадает с одним из элементов группы
.
Следовательно,
.
Следствие 2. Для любого целого имеет место сравнение
(4.6)
Доказательство. Действительно, умножая обе части сравнения (4.5) на , получим
.
Этот результат имеет место и тогда, когда числа и
не являются взаимно простыми. Если
и
не взаимно простые числа, то при простом
число
делится на
. Но тогда
также делится на
. Поэтому
или
.
Пример. Найти остаток от деления числа на 17. Поскольку 17 и 42 взаимно простые числа, то по малой теореме Ферма
. Возводя в третью степень обе части сравнения, получаем
. Кроме того,
, а в квадрате это дает
. Перемножая полученные сравнения, находим
. Таким образом, искомый остаток равен 13.