Пример 14.8

Европейские опционы

При анализе европейских опционов будем предполагать, что цена акции состоит из двух компонентов: безрискового и рискованного. Безрисковый компонент соответствует заранее известным выплатам дивидендов на протяжении срока действия опциона, а рискованный компонент в любой момент времени представляет собой текущую стоимость всех дивидендов, выплачиваемых на протяжении срока действия опциона, пересчитанную с момента наступления дат «без дивиденда» на настоящий момент по безрисковой процентной ставке. В момент окончания опциона все дивиденды будут выплачены и безрисковый компонент исчезнет. Таким образом, формула Б-Ш-М корректна, если величина S₀ равна рискованному компоненту цены акции, а σ представляет собой волатильность процесса, описывающего рискованный компонент[6]. С формальной точки зрения это означает, что формулу Б-Ш можно использовать при условии, что цена акции уменьшена на текущую стоимость всех дивидендов, выплачиваемых на протяжении срока действия опциона, пересчитанную с момента наступления даты «баз дивиденда» по безрисковой процентной ставке. Дивиденд считается выплаченным, только если дата его выплаты наступает на протяжении срока действия опциона.

Рассмотрим европейский опцион на покупку акции, сроки выплат дивидендов по которой наступают через 2 и 5 месяцев. В каждый из этих моментов акционерам выплачивается 0,5 долл. на каждую акцию. Текущая цена акции равна 40 долл., цена исполнения – 40 долл., волатильность цены акции – 30% годовых, безрисковая процентная ставка – 9% годовых, а до истечения срока действия опциона осталось шесть месяцев. Текущая стоимость дивиденда равна:

Следовательно, цену опциона можно вычислить по формуле Б-Ш при S₀ = 40 – 0,9741 = 39,0259, К = 40, r = 0,09, σ = 0,3 и Т = 0,5.

Используя полиноминальное приближение, указанное в параграфе 12.9, получаем:

N(d₁) = 0,5800, N(d₂) = 0,4959.

Из формулы (14.20) следует, что цена опциона «колл» равна: