Метод моментов

Методы нахождения точечных оценок

Пусть известен закон распределения случайной величины (признака в генеральной совокупности), содержащий неизвестные параметры , , ..., .

Произведем выборку объема . Метод моментов состоит в том, что эмпирические моменты

, (14.7)

(14.8)

приравниваются теоретическим моментам соответствующего порядка

. (14.9)

. (14.10)

Согласно формулам (14.7) и (14.8) эмпирические моменты вычисляются по данным наблюдений ().

В зависимости от закона распределения случайной величины теоретические моменты можно вычислить с пользованием ряда распределения или плотности распределения. Тогда из (14.9) и (14.10) следует

. (14.11)

. (14.12)

Пример 14.3.Случайная величина (число появлений события в 5 независимых испытаниях) подчинена биномиальному распределению с неизвестным параметром распределения . Проведено опытов по испытаний в каждом. В результате получено эмпирическое распределение (таблица 14.3), где − число появлений события в одном опыте, − количество опытов, в которых появилось раз. Методом моментов найти точечную оценку параметра биномиального распределения.

.

Решение. Согласно условию, определим случайную величину как число появлений события в независимых испытаниях. Данная случайная величина подчинена биномиальному закону распределения, поэтому .

Так как в данном случае неизвестен один параметр , то приравняем начальный эмпирический и начальный теоретический моменты первого порядка .

В данном случае, . Для вычисления воспользуемся формулой где согласно условию. Получаем,

.

Таким образом, равенство принимает вид , откуда .

Ответ. .

Пример 14.4. Методом моментов по выборке , , ..., найти точечную оценку неизвестного параметра распределения случайной величины , зная, что плотность распределения вероятностей имеет вид .

Решение. Так как распределение определено одним параметром , то достаточно составить одно уравнение . В данном случае,

, .

Поэтому получаем, или .

Ответ. .