Лекция 12. Типы особых точек. Фазовые портреты линейных систем.

Уравнения (11.3) для линейной системы принимают вид:

,

(12.1)

или в векторно-матричной форме:

,

где - вектор фазовых переменных, - невырожденная матрица коэффициентов ().

Дифференциальное уравнение фазовой траектории:

. (12.2)

Приравняв производные фазовых переменных к нулю, получим уравнения для определения координат особых точек:

,

,

которые имеют единственное решение x₁=0, x₂=0. При отсутствии входных сигналов линейная система имеет единственную особую точку в начале координат.

Как отмечалось выше, особые точки соответствуют возможным состояниям равновесия системы. Поэтому их классификация тесно связана с устойчивостью состояний равновесия, а для линейной системы – с видом корней характеристического полинома или собственных чисел матрицы А, определяемых из характеристического уравнения линейной системы:

,

где I – единичная матрица.

Выбором фазовых переменных (базиса линейной модели) можно добиться равенства нулю части коэффициентов в уравнениях вида (12.1), за счет чего анализ свойств системы и построение фазовых траекторий упрощаются.

Наиболее удобными для анализа процессов на фазовой плоскости являются два варианта базиса, при которых матрица А принимает вид матрицы Фробениуса или матрицы Жордана (диагональной) . В первом случае для вектора фазовых переменных сохраним обозначение X, во втором будем использовать обозначение Y:

,

; (12.3)

,

. (12.4)

Форма (12.3) является частным случаем (12.1) и удобна для построения и интерпретации фазовых траекторий в силу связи координат, выраженной первым уравнением и определяющей ряд правил для фазовых траекторий рассмотренных в предыдущей лекции.

Форма (12.4) приводит к уравнениям с разделенными переменными, коэффициенты которых l₁ и l₂ – корни характеристического полинома системы, определяющие тип особой точки. Строго говоря, такая форма уравнений для вещественных функций может быть получена только при условии, что l₁ и l₂ – вещественные числа. Поэтому ниже она будет использоваться только для таких случаев.

Связь рассматриваемых базисов выражается следующим преобразованием:

X=PY,

или

,

. (12.5)

Преобразование (12.5) учитывает, что коэффициенты уравнений (12.3) связаны с корнями характеристического полинома следующим образом:

,

.

Таким образом, переход от базиса X к базису Y осуществляется подстановкой (12.5).

Решив уравнения (12.5) относительно y₁ и y₂, получим соотношения для обратного перехода:

,

, (12.6)

которые допустимы для использования только при l₁≠l₂.

При вещественных не совпадающих по величине l₁ и l₂ решение уравнений (12.4) имеет вид:

, . (12.7)

Исключив из (12.5) время, получим уравнение фазовых траекторий:

,

,

,

,

. (12.8)

Рассмотрим различные варианты.

Если знаки l₁ и l₂ совпадают, (12.8) является уравнением параболы, причем при ветви параболы направлены вдоль оси y₂ (рис. 55 а, 57 а), в противоположном случае – вдоль оси y₁ (рис. 55 б, 57 б).

При положительных l₁ и l₂ по выражениям (12.7) нетрудно убедиться, что координаты изображающей точки y₁ и y₂ с течением времени возрастают, то есть фазовые траектории уходят от начала координат (рис. 55). Следовательно, система неустойчива, причем процесс в ней апериодический. Такую особую точку называют «неустойчивый узел».

Оси симметрии фазовых портретов, представленных на рис. 55, совпадающие с осями координат y₁ и y₂, сами являются фазовыми траекториями в предельных случаях: при фазовые траектории стремятся к оси y₂, при - к оси y₁. В обоих случаях вторая ось является касательной к фазовым траекториям, построенной в особой точке – начале координат.

На фазовую плоскость для базиса (12.3) эти оси отобразятся в соответствии с соотношениями (12.6). Уравнение оси y₁ имеет вид y₂=0, и в соответствии с (12.6) для нового базиса примет вид уравнения прямой: x₂=l₁x₁. Аналогично уравнение оси y₂ преобразуется из y₁=0 в x₂=l₂x₁. Фазовый портрет примет вид, показанный на рис. 56.

При отрицательных l₁ и l₂ из (12.7) следует, что координаты изображающей точки y₁ и y₂ с течением времени убывают, то есть фазовые траектории приходят в начало координат (рис. 57). Следовательно, система устойчива, процесс в ней апериодический. Такую особую точку называют «устойчивый узел».

На фазовую плоскость для базиса (12.3) оси y₁ и y₂ отображаются в прямые с уравнениями x₂=l₁x₁ и x₂=l₂x₁, но в отличие от предыдущего случая эти прямые проходят через второй и четвертый квадранты (рис. 58).

Если знаки l₁ и l₂ не совпадают, показатель степени в уравнении (12.8) отрицателен и оно является уравнением гиперболы, асимптоты которой совпадают с осями координат (рис. 59 а). Из (12.7) видно, что та фазовая переменная, которой соответствует положительный корень, с течением времени неограниченно возрастает, то есть система в рассматриваемом случае неустойчива. Особая точка в этом случае носит название «седло».

На фазовую плоскость для базиса (12.3) ось y, соответствующая положительному корню, отображается в первый и третий квадранты, ось y, соответствующая отрицательному корню – во второй и четвертый (рис. 59 б).

Отметим дополнительно, что все отмеченные на рассмотренных фазовых портретах оси симметрии, асимптоты и касательные могут рассматриваться как сепаратрисы, то есть особые линии на фазовой плоскости, разделяющие области с различным видом фазовых траекторий. Для линейных систем все особые линии являются прямыми.

Прямолинейные особые линии, проходящие через начало координат и являющиеся предельными случаями фазовых траекторий, могут быть также найдены на основе дифференциального уравнения фазовой траектории (12.2). Поскольку уравнение прямой x₂=kx₁ справедливо и для приращений координат: Dx₂=kDx₁, на основе (2.12) получим:

.

Теперь поделим числитель и знаменатель в правой части на k:

и получим следующее уравнение, которым можно пользоваться для определения наклона особых линий для моделей (12.1) и (12.3):

. (12.9)

Теперь обратимся к вариантам корней, для которых преобразования (12.5) и (12.6) невыполнимы.

При вещественных l₁=l₂<0 получаем «вырожденный устойчивый узел» (рис. 60 а), при вещественных l₁=l₂>0 получаем «вырожденный неустойчивый узел» (рис. 60 б).

При комплексно сопряженных корнях с положительной вещественной частью l_1,2=a±jb (a>0) решения системы (12.3) имеют вид:

,

.

Фазовые траектории – расходящиеся от особой точки в бесконечность спирали. Особую точку в этом случае называют «неустойчивый фокус» (рис. 61 а).

При комплексно сопряженных корнях с отрицательной вещественной частью l_1,2=–a±jb (a>0) получаем уравнения сходящихся в особую точку спиралейолучаем уравнения сходящихся в особую точку нойинам преподавателеймней сессии на пятом к:

,

.

Особую точку в этом случае называют «устойчивый фокус» (рис. 61 б).

При чисто мнимых корнях l_1,2=±jb получаем уравнения эллипса с центром в особой точке – начале координат:

,

.

Особую точку в этом случае называют «центр» (рис. 62).